Номер 7.3, страница 37 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

7.3. Пловец переплывает реку шириной $\text{l}$. Под каким углом к направлению вектора скорости течения воды он должен плыть, чтобы попасть на противоположный берег за самое короткое время? Чему равно перемещение пловца относительно берега, если скорость течения реки $v_1$, а скорость пловца относительно воды $v_2$?

Дано:

Ширина реки: $\text{l}$

Скорость течения реки: $v_1$

Скорость пловца относительно воды: $v_2$

Найти:

1. Угол $\beta$ к направлению течения для кратчайшего времени переправы.

2. Перемещение $\text{s}$ пловца относительно берега за это время.

Решение:

Введем систему координат. Направим ось $\text{Ox}$ вдоль течения реки, а ось $\text{Oy}$ — перпендикулярно течению, через реку от одного берега к другому. Начало координат — в точке старта пловца.

Скорость пловца относительно берега $\vec{v}$ является векторной суммой скорости течения реки $\vec{v}_1$ и скорости пловца относительно воды $\vec{v}_2$.

$\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$

Вектор скорости течения имеет координаты $\vec{v}_1 = (v_1, 0)$.

Пусть пловец плывет под углом $\beta$ к направлению течения (к оси $\text{Ox}$). Тогда вектор его скорости относительно воды имеет координаты $\vec{v}_2 = (v_2 \cos\beta, v_2 \sin\beta)$.

Следовательно, скорость пловца относительно берега имеет компоненты:

$v_x = v_1 + v_2 \cos\beta$ (вдоль течения)

$v_y = v_2 \sin\beta$ (поперек течения)

1. Угол для пересечения реки за самое короткое время

Время, за которое пловец переплывает реку, определяется только компонентой скорости, перпендикулярной берегу ($v_y$), и шириной реки $\text{l}$.

$t = \frac{l}{v_y} = \frac{l}{v_2 \sin\beta}$

Чтобы время $\text{t}$ было минимальным, знаменатель дроби должен быть максимальным. Поскольку скорость $v_2$ постоянна, необходимо максимизировать значение $\sin\beta$.

Максимальное значение $\sin\beta$ равно 1, что достигается при угле $\beta = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Это означает, что для пересечения реки за самое короткое время пловец должен направить свою скорость перпендикулярно течению.

Ответ: Пловец должен плыть под углом $90^\circ$ к направлению вектора скорости течения воды.

2. Перемещение пловца относительно берега

Найдем перемещение пловца при условии, что он пересекает реку за кратчайшее время. Как мы выяснили, это происходит при $\beta = 90^\circ$.

Минимальное время переправы равно:

$t_{min} = \frac{l}{v_2 \sin(90^\circ)} = \frac{l}{v_2}$

За это время пловца снесет течением на некоторое расстояние $s_x$ вдоль берега. Это расстояние можно найти, умножив продольную компоненту скорости $v_x$ на время $t_{min}$.

При $\beta = 90^\circ$ продольная скорость пловца относительно берега равна:

$v_x = v_1 + v_2 \cos(90^\circ) = v_1 + 0 = v_1$

Тогда снос по течению составит:

$s_x = v_x \cdot t_{min} = v_1 \cdot \frac{l}{v_2} = \frac{v_1 l}{v_2}$

Перемещение пловца поперек реки равно ширине реки $s_y = l$.

Полное перемещение $\text{s}$ пловца относительно берега — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $s_x$ и $s_y$. Найдем его модуль по теореме Пифагора:

$s = \sqrt{s_x^2 + s_y^2} = \sqrt{\left(\frac{v_1 l}{v_2}\right)^2 + l^2}$

Вынесем $\text{l}$ за скобки и из-под корня:

$s = \sqrt{l^2 \left(\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 + 1\right)} = l \sqrt{\frac{v_1^2}{v_2^2} + \frac{v_2^2}{v_2^2}} = l \frac{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}{v_2}$

Ответ: Перемещение пловца относительно берега равно $s = \frac{l}{v_2}\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$.