Номер 7.2, страница 37 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

7.2. Два камня падают с высоты 80 м, причём второй камень начал падать на 2 с позже первого. Постройте график зависимости проекции скорости первого камня на вертикальную ось в системе отсчёта, связанной со вторым камнем. Ускорение свободного падения примите равным $10 \text{ м}/\text{с}^2$.

Дано:

Высота, $H = 80$ м

Задержка падения второго камня, $Δt = 2$ с

Ускорение свободного падения, $g = 10$ м/с²

Найти:

Построить график зависимости проекции скорости первого камня на вертикальную ось в системе отсчёта, связанной со вторым камнем, $v_{12,y}(t)$.

Решение:

Введём систему отсчёта, связанную с Землёй. Направим вертикальную ось $\text{OY}$ вниз, с началом отсчёта ($y=0$) в точке, откуда падают камни.

Закон движения для скорости тел при свободном падении без начальной скорости имеет вид: $v(t) = gt$.

Для первого камня, который начинает падать в момент времени $t=0$, уравнение для проекции скорости на ось $\text{OY}$ будет:

$v_{1,y}(t) = gt$

Второй камень начинает падать на $Δt = 2$ с позже, то есть в момент времени $t = Δt$. Его движение начинается при $t ≥ Δt$. Уравнение для проекции его скорости на ось $\text{OY}$ будет:

$v_{2,y}(t) = g(t - Δt)$ при $t ≥ Δt$.

При $0 ≤ t < Δt$, второй камень покоится, поэтому $v_{2,y}(t) = 0$.

Проекция скорости первого камня в системе отсчёта, связанной со вторым камнем (относительная скорость), находится по формуле:

$v_{12,y}(t) = v_{1,y}(t) - v_{2,y}(t)$

Рассмотрим движение на разных временных интервалах.

1. Интервал времени $0 ≤ t < 2$ с.

В этот период времени первый камень падает, а второй ещё находится в покое.

$v_{1,y}(t) = 10t$

$v_{2,y}(t) = 0$

Следовательно, относительная скорость:

$v_{12,y}(t) = 10t - 0 = 10t$

В начале интервала, при $t=0$, $v_{12,y}(0) = 0$ м/с.

В конце интервала, при $t=2$ с, $v_{12,y}(2) = 10 \cdot 2 = 20$ м/с.

На этом участке зависимость линейная.

2. Интервал времени $t ≥ 2$ с.

С момента времени $t=2$ с оба камня падают.

$v_{1,y}(t) = 10t$

$v_{2,y}(t) = 10(t - 2)$

Относительная скорость:

$v_{12,y}(t) = 10t - 10(t - 2) = 10t - 10t + 20 = 20$ м/с.

Как видим, после того как второй камень начал падать, относительная скорость камней становится постоянной.

Определение времени падения.

Движение продолжается до тех пор, пока первый камень не достигнет земли. Найдём время его падения с высоты $H=80$ м.

Уравнение координаты для первого камня: $y_1(t) = \frac{gt^2}{2}$.

В момент падения $y_1 = H$.

$H = \frac{gt_1^2}{2} \Rightarrow t_1 = \sqrt{\frac{2H}{g}}$

$t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 80}{10}} = \sqrt{16} = 4$ с.

Первый камень падает в течение 4 секунд. Это означает, что мы должны построить график до момента времени $t=4$ с.

Построение графика $v_{12,y}(t)$.

График состоит из двух частей:

1. Для $0 ≤ t ≤ 2$ с: $v_{12,y}(t) = 10t$. Это отрезок прямой, проходящий через точки $(0; 0)$ и $(2; 20)$.

2. Для $2 < t ≤ 4$ с: $v_{12,y}(t) = 20$. Это горизонтальный отрезок прямой, соединяющий точки $(2; 20)$ и $(4; 20)$.

Ответ:

График зависимости проекции скорости первого камня на вертикальную ось $\text{OY}$ (направленную вниз) в системе отсчёта, связанной со вторым камнем, $v_{12,y}(t)$, состоит из двух участков. Первый участок, на интервале времени от 0 до 2 с, представляет собой отрезок прямой, описываемый уравнением $v_{12,y} = 10t$, который соединяет точки (0 с; 0 м/с) и (2 с; 20 м/с). Второй участок, на интервале времени от 2 с до 4 с (момент падения первого камня), представляет собой горизонтальный отрезок прямой $v_{12,y} = 20$ м/с, соединяющий точки (2 с; 20 м/с) и (4 с; 20 м/с).