Номер 7.5, страница 37 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

7.5. Два автомобиля за одинаковое время набрали одинаковую скорость. Первый автомобиль двигался в течение времени $t_1$ с ускорением $a_1$, а затем в течение времени $t_2$ с ускорением $a_2$. Второй автомобиль двигался в течение времени $t_2$ с ускорением $a_2$, а затем в течение времени $t_1$ с ускорением $a_1$. В каком случае перемещение тела будет больше, если $a_1 > a_2$? Решите задачу в общем случае.

Проверьте своё решение для частного случая: $t_1 = 5$ с, $a_1 = 2$ м/с$^2$, $t_2 = 10$ с, $a_2 = 1$ м/с$^2$.

Решение задачи в общем случае

Оба автомобиля начинают движение из состояния покоя (начальная скорость $v_0 = 0$) и движутся в течение одинакового общего времени $T = t_1 + t_2$. По условию, они набирают одинаковую конечную скорость $\text{v}$.

Для любого из автомобилей, состоящего из двух этапов равноускоренного движения, конечная скорость вычисляется как $v = v_0 + a_{part1}t_{part1} + a_{part2}t_{part2}$. Так как $v_0 = 0$, то для обоих автомобилей конечная скорость будет $v = a_1t_1 + a_2t_2$, что соответствует условию задачи.

Найдем перемещение для первого автомобиля ($s_1$). Его движение состоит из двух этапов:

1. Движение с ускорением $a_1$ в течение времени $t_1$.
Перемещение на этом этапе: $s_{1a} = \frac{a_1t_1^2}{2}$.
Скорость в конце этапа: $v_{1a} = a_1t_1$.

2. Движение с ускорением $a_2$ в течение времени $t_2$. Начальная скорость для этого этапа равна $v_{1a}$.
Перемещение на этом этапе: $s_{1b} = v_{1a}t_2 + \frac{a_2t_2^2}{2} = (a_1t_1)t_2 + \frac{a_2t_2^2}{2}$.

Общее перемещение первого автомобиля:

$s_1 = s_{1a} + s_{1b} = \frac{a_1t_1^2}{2} + a_1t_1t_2 + \frac{a_2t_2^2}{2}$

Найдем перемещение для второго автомобиля ($s_2$). Его движение также состоит из двух этапов:

1. Движение с ускорением $a_2$ в течение времени $t_2$.
Перемещение на этом этапе: $s_{2a} = \frac{a_2t_2^2}{2}$.
Скорость в конце этапа: $v_{2a} = a_2t_2$.

2. Движение с ускорением $a_1$ в течение времени $t_1$. Начальная скорость для этого этапа равна $v_{2a}$.
Перемещение на этом этапе: $s_{2b} = v_{2a}t_1 + \frac{a_1t_1^2}{2} = (a_2t_2)t_1 + \frac{a_1t_1^2}{2}$.

Общее перемещение второго автомобиля:

$s_2 = s_{2a} + s_{2b} = \frac{a_2t_2^2}{2} + a_2t_1t_2 + \frac{a_1t_1^2}{2}$

Теперь сравним перемещения $s_1$ и $s_2$. Найдем их разность:

$s_1 - s_2 = \left( \frac{a_1t_1^2}{2} + a_1t_1t_2 + \frac{a_2t_2^2}{2} \right) - \left( \frac{a_2t_2^2}{2} + a_2t_1t_2 + \frac{a_1t_1^2}{2} \right)$

$s_1 - s_2 = a_1t_1t_2 - a_2t_1t_2 = (a_1 - a_2)t_1t_2$

По условию задачи $a_1 > a_2$, следовательно, разность $(a_1 - a_2) > 0$. Время $t_1$ и $t_2$ — положительные величины. Таким образом, произведение $(a_1 - a_2)t_1t_2$ будет положительным.

$s_1 - s_2 > 0$, что означает $s_1 > s_2$.

Перемещение будет больше в случае первого автомобиля, который начинает движение с большим ускорением.

Ответ: Перемещение будет больше у первого автомобиля, который двигался сначала с ускорением $a_1$, а затем с ускорением $a_2$.

Проверка решения для частного случая

Дано:

$t_1 = 5$ с

$a_1 = 2$ м/с²

$t_2 = 10$ с

$a_2 = 1$ м/с²

Найти:

Сравнить перемещения $s_1$ и $s_2$.

Решение:

Воспользуемся выведенной в общем случае формулой для разности перемещений:

$s_1 - s_2 = (a_1 - a_2)t_1t_2$

Подставим числовые значения:

$s_1 - s_2 = (2 \text{ м/с}^2 - 1 \text{ м/с}^2) \cdot 5 \text{ с} \cdot 10 \text{ с} = 1 \text{ м/с}^2 \cdot 50 \text{ с}^2 = 50 \text{ м}$

Поскольку разность положительна, $s_1 > s_2$. Перемещение первого автомобиля на 50 м больше перемещения второго.

Для полной проверки вычислим каждое перемещение отдельно.

Перемещение первого автомобиля:

$s_1 = \frac{a_1t_1^2}{2} + a_1t_1t_2 + \frac{a_2t_2^2}{2} = \frac{2 \cdot 5^2}{2} + 2 \cdot 5 \cdot 10 + \frac{1 \cdot 10^2}{2} = \frac{2 \cdot 25}{2} + 100 + \frac{100}{2} = 25 + 100 + 50 = 175$ м

Перемещение второго автомобиля:

$s_2 = \frac{a_2t_2^2}{2} + a_2t_1t_2 + \frac{a_1t_1^2}{2} = \frac{1 \cdot 10^2}{2} + 1 \cdot 5 \cdot 10 + \frac{2 \cdot 5^2}{2} = \frac{100}{2} + 50 + \frac{50}{2} = 50 + 50 + 25 = 125$ м

Сравнение: $s_1 = 175$ м, $s_2 = 125$ м. Действительно, $s_1 > s_2$.

Ответ: Частный случай подтверждает общее решение: $s_1 > s_2$. Перемещение первого автомобиля (175 м) больше перемещения второго (125 м).