Задача, страница 36 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА. Рассчитайте радиус $R_{ок}$ окружности, совпадающей с участком траектории точки колеса радиусом $\text{R}$ (циклоиды) в её верхней точке.

Рис. 1.16

Решение. Ускорение точки А (рис. 1.16) инвариантно в движущихся с постоянной скоростью относительно друг друга системах отсчёта; относительно системы отсчёта, связанной с осью колеса, оно равно $a_{цс_1} = \frac{v_1^2}{R}$, а относительно Земли $a_{цс_2} = \frac{v_2^2}{R_{ок}}$, где $v_1$ — скорость этой точки относительно центра $\text{O}$ колеса; $v_2$ — скорость этой же точки относительно точки $O_1$.

Обозначив буквой $\text{v}$ скорость движения центра $\text{O}$ колеса, получим $v_2 = 2v$. В соответствии с законом сложения скоростей $v_1 = 2v - v = v$.

Из инвариантности ускорений $(a_{цс_1} = a_{цс_2})$ следует: $\frac{v^2}{R} = \frac{(2v)^2}{R_{ок}}$, откуда $R_{ок} = 4R$.

Дано:

Радиус колеса: $\text{R}$

Скорость центра колеса: $\text{v}$

Колесо катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания.

Найти:

$R_{ок}$ — радиус кривизны траектории верхней точки колеса.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся принципом инвариантности ускорения. Ускорение точки является абсолютной величиной и не зависит от выбора инерциальной системы отсчета (ИСО), в которой оно измеряется, при условии, что ИСО движутся друг относительно друга с постоянной скоростью.

Рассмотрим движение верхней точки колеса (назовем ее точкой A) в двух системах отсчета:

1. Подвижная система отсчета, связанная с центром колеса O. Эта система движется поступательно со скоростью $\text{v}$ относительно земли. В этой системе отсчета точка A совершает вращательное движение по окружности радиусом $\text{R}$. Так как колесо катится без проскальзывания, линейная скорость точки A относительно центра O равна по модулю скорости центра колеса: $v_1 = v$. Ускорение точки A в этой системе отсчета является центростремительным, оно направлено к центру O и равно по модулю:

$a_{цс1} = \frac{v_1^2}{R} = \frac{v^2}{R}$

2. Неподвижная система отсчета, связанная с землей. В этой системе отсчета точка A движется по траектории, называемой циклоидой. Скорость точки A в ее наивысшем положении является суммой скорости поступательного движения центра колеса $\text{v}$ и линейной скорости вращения $v_1$ относительно центра. В верхней точке оба вектора скорости сонаправлены, поэтому результирующая скорость равна:

$v_2 = v + v_1 = v + v = 2v$

Ускорение точки A в неподвижной системе отсчета $\vec{a}_{A}$ равно векторной сумме ускорения центра колеса $\vec{a}_{O}$ и ускорения точки A относительно центра $\vec{a}_{A,O}$. Поскольку центр колеса движется с постоянной скоростью, его ускорение $\vec{a}_{O} = 0$. Следовательно, ускорение точки A в неподвижной системе отсчета равно ее ускорению относительно центра: $\vec{a}_{A} = \vec{a}_{A,O}$. Его модуль, как мы нашли, равен $a_A = \frac{v^2}{R}$.

С другой стороны, в любой точке криволинейной траектории нормальная (центростремительная) составляющая ускорения связана со скоростью точки и радиусом кривизны траектории $R_{ок}$ в этой точке. В верхней точке циклоиды вектор скорости $v_2$ горизонтален, а вектор ускорения $a_A$ направлен вертикально вниз. Это означает, что ускорение в этой точке является полностью нормальным (центростремительным). Таким образом, мы можем записать:

$a_{цс2} = \frac{v_2^2}{R_{ок}}$

Подставим значение скорости $v_2 = 2v$:

$a_{цс2} = \frac{(2v)^2}{R_{ок}} = \frac{4v^2}{R_{ок}}$

Поскольку ускорение точки инвариантно ($a_{цс1} = a_{цс2}$), мы можем приравнять два полученных выражения для модуля ускорения:

$\frac{v^2}{R} = \frac{4v^2}{R_{ок}}$

Сократим обе части уравнения на $v^2$ (поскольку $v \neq 0$):

$\frac{1}{R} = \frac{4}{R_{ок}}$

Отсюда выражаем искомый радиус кривизны:

$R_{ок} = 4R$

Ответ: $R_{ок} = 4R$.