Номер 10.3, страница 59 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

10.3. Тело массой 1 кг, подвешенное на нити длиной 1 м, описывает в горизонтальной плоскости окружность с частотой $1 \text{ с}^{-1}$. Определите модуль силы упругости нити $\vec{F}_{\text{упр}}$ и угол $\alpha$, который образует нить с вертикалью.

Дано:

масса тела $m = 1$ кг

длина нити $L = 1$ м

частота вращения $f = 1 \text{ с}^{-1}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

модуль силы упругости нити $F_{упр}$ - ?

угол $\alpha$ - ?

Решение:

Тело, подвешенное на нити и вращающееся в горизонтальной плоскости, движется как конический маятник. На тело действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила упругости (натяжения) нити $\vec{F}_{упр}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_c$, которое направлено горизонтально к центру окружности. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось OY (направлена вверх) и горизонтальную ось OX (направлена к центру окружности). Угол $\alpha$ — это угол между нитью и вертикалью.

Проекция на ось OY:
$F_{упр} \cos(\alpha) - mg = 0 \implies F_{упр} \cos(\alpha) = mg \quad (1)$

Проекция на ось OX:
$F_{упр} \sin(\alpha) = ma_c \quad (2)$

Центростремительное ускорение $a_c$ определяется как $a_c = \omega^2 r$, где $\omega$ — угловая скорость, а $\text{r}$ — радиус окружности. Угловая скорость связана с частотой $\text{f}$ соотношением $\omega = 2\pi f$. Радиус окружности $\text{r}$ выражается через длину нити $\text{L}$ и угол $\alpha$: $r = L \sin(\alpha)$.

Подставим эти выражения в уравнение (2):
$F_{упр} \sin(\alpha) = m (2\pi f)^2 L \sin(\alpha)$

Поскольку тело движется по окружности, угол $\alpha$ отличен от нуля, и $\sin(\alpha) \neq 0$. Мы можем сократить обе части уравнения на $\sin(\alpha)$ и найти модуль силы упругости:

$F_{упр} = m (2\pi f)^2 L$

Подставим числовые значения:
$F_{упр} = 1 \text{ кг} \cdot (2\pi \cdot 1 \text{ с}^{-1})^2 \cdot 1 \text{ м} = 4\pi^2 \text{ Н}$

Вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3.14159$:
$F_{упр} \approx 4 \cdot (3.14159)^2 \text{ Н} \approx 39.48 \text{ Н}$

Теперь найдем угол $\alpha$ из уравнения (1):
$\cos(\alpha) = \frac{mg}{F_{упр}}$

Подставим известные значения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:
$\cos(\alpha) = \frac{1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{4\pi^2 \text{ Н}} \approx \frac{9.8}{39.48} \approx 0.2482$

Отсюда находим угол $\alpha$:
$\alpha = \arccos(0.2482) \approx 75.6^\circ$

Ответ: модуль силы упругости нити $F_{упр} = 4\pi^2 \text{ Н} \approx 39.5 \text{ Н}$; угол, который образует нить с вертикалью, $\alpha \approx 75.6^\circ$.