Номер 10.5, страница 60 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

10.5. При какой продолжительности суток на Земле вес тела на экваторе был бы равен нулю?

10.5. Дано:

Вес тела на экваторе $P = 0$

Радиус Земли (экваториальный) $R \approx 6378$ км

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

$R = 6378 \text{ км} = 6.378 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Продолжительность суток $\text{T}$.

Решение:

Вес тела $\text{P}$ — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. На тело, находящееся на экваторе, действуют две силы: сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная к центру Земли, и сила реакции опоры $\text{N}$, направленная от центра Земли. По третьему закону Ньютона, вес тела равен по модулю силе реакции опоры: $P = N$.

Поскольку Земля вращается, тело на экваторе движется по окружности радиусом $\text{R}$ (равным радиусу Земли) с центростремительным ускорением $a_ц$. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил, приложенных к телу, сообщает ему это ускорение. В проекции на ось, направленную к центру Земли:

$F_{тяж} - N = m a_ц$

Подставим $F_{тяж} = mg$ и $N = P$:

$mg - P = m a_ц$

По условию задачи, вес тела должен быть равен нулю, то есть $P = 0$. Тогда уравнение принимает вид:

$mg = m a_ц$

Сократив массу $\text{m}$, получим:

$g = a_ц$

Это означает, что для наступления невесомости центростремительное ускорение, обусловленное вращением Земли, должно полностью скомпенсировать ускорение свободного падения.

Центростремительное ускорение связано с периодом вращения $\text{T}$ и радиусом $\text{R}$ формулой:

$a_ц = \omega^2 R = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Приравняем ускорение свободного падения и центростремительное ускорение:

$g = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Выразим из этой формулы период вращения $\text{T}$ (продолжительность суток):

$T^2 = \frac{4\pi^2 R}{g}$

$T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$

Теперь подставим числовые значения:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{6.378 \times 10^6 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx 2 \cdot 3.1416 \cdot \sqrt{650816 \text{ с}^2} \approx 6.2832 \cdot 806.7 \text{ с} \approx 5069 \text{ с}$

Переведем секунды в часы и минуты для более наглядного ответа:

$5069 \text{ с} = 1 \text{ час } 24 \text{ минуты } 29 \text{ секунд} \approx 1.41 \text{ часа}$

Ответ: для того чтобы вес тела на экваторе был равен нулю, продолжительность суток на Земле должна составлять примерно 5069 секунд, что равно 1 часу 24 минутам 29 секундам (или около 1.41 часа).