Номер 10.6, страница 60 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

10.6. Мотоциклист, участвуя в аттракционе «гонки на мотоциклах по вертикальной стене», развивает скорость 60 км/ч. Определите угол наклона мотоцикла к стене, если радиус закругления стены аттракциона 7 м.

Дано:

$v = 60$ км/ч

$R = 7$ м

Перевод в систему СИ:

$v = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{600}{36} \text{ м/с} = \frac{100}{6} \text{ м/с} = \frac{50}{3}$ м/с

$R = 7$ м

Найти:

$\alpha$ - угол наклона мотоцикла к стене.

Решение:

Мотоциклист, двигаясь по вертикальной стене, совершает движение по окружности в горизонтальной плоскости. Для того чтобы мотоцикл находился в устойчивом положении и не опрокидывался, он должен быть наклонен под определенным углом к вертикали (к стене).

Рассмотрим силы, действующие на систему "мотоцикл-мотоциклист" в неинерциальной системе отсчета, связанной с мотоциклом. В этой системе отсчета на тело действуют следующие силы:

1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз.

2. Центробежная сила инерции $F_{цб}$, направленная горизонтально от центра окружности. Ее величина равна величине центростремительной силы: $F_{цб} = \frac{mv^2}{R}$.

Для равновесия мотоцикла необходимо, чтобы суммарный момент сил относительно точки опоры (контакта колес со стеной) был равен нулю. Это условие выполняется, если равнодействующая силы тяжести и центробежной силы направлена вдоль оси мотоцикла.

Пусть $\alpha$ — это угол наклона мотоцикла к вертикальной стене. Из векторов силы тяжести (вертикальный вектор) и центробежной силы (горизонтальный вектор) можно составить силовой треугольник. Угол $\alpha$ в этом треугольнике будет углом между вектором силы тяжести и их равнодействующей.

Тогда тангенс этого угла будет равен отношению модуля горизонтальной силы (центробежной) к модулю вертикальной силы (силы тяжести):

$\tan(\alpha) = \frac{F_{цб}}{F_g} = \frac{mv^2/R}{mg}$

Сократив массу $\text{m}$, получаем формулу для нахождения угла наклона:

$\tan(\alpha) = \frac{v^2}{gR}$

Подставим числовые значения в формулу. В качестве ускорения свободного падения $\text{g}$ примем стандартное значение $g \approx 9.8$ м/с².

$\tan(\alpha) = \frac{(\frac{50}{3} \text{ м/с})^2}{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 7 \text{ м}} = \frac{2500/9 \text{ м}^2/\text{с}^2}{68.6 \text{ м}^2/\text{с}^2} = \frac{2500}{9 \cdot 68.6} = \frac{2500}{617.4} \approx 4.049$

Теперь найдем сам угол $\alpha$, взяв арктангенс от полученного значения:

$\alpha = \arctan(4.049) \approx 76.1^\circ$

Ответ: угол наклона мотоцикла к стене составляет примерно $76.1^\circ$.