Номер 10.4, страница 60 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

10.4. Считая Землю шаром радиусом $6{,}4 \cdot 10^6 \text{ м}$, определите угол отклонения отвеса от направления на центр Земли на широте $45^\circ$.

Дано:

$R = 6,4 \cdot 10^6$ м

$\phi = 45^\circ$

Период вращения Земли $T = 24$ часа

Перевод в СИ:

$T = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

$\alpha$

Решение:

Отвес на поверхности вращающейся Земли отклоняется от направления к центру Земли из-за действия центробежной силы инерции. Направление отвеса совпадает с направлением кажущейся (эффективной) силы тяжести, которая является векторной суммой гравитационной силы и центробежной силы.

$\vec{F}_{эфф} = \vec{F}_g + \vec{F}_ц$

Гравитационная сила $\vec{F}_g$ направлена к центру Земли, её модуль равен $F_g = mg$, где $\text{g}$ - ускорение свободного падения (будем считать $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$).

Центробежная сила $\vec{F}_ц$ направлена перпендикулярно оси вращения Земли. Её модуль равен $F_ц = m \omega^2 r$, где $\omega$ - угловая скорость вращения Земли, а $\text{r}$ - расстояние от точки до оси вращения.

Расстояние $\text{r}$ связано с радиусом Земли $\text{R}$ и широтой $\phi$ соотношением $r = R \cos\phi$.

Тогда $F_ц = m \omega^2 R \cos\phi$.

Угол отклонения отвеса $\alpha$ — это угол между вектором гравитационной силы $\vec{F}_g$ (направлен к центру) и вектором эффективной силы тяжести $\vec{F}_{эфф}$.

Для нахождения угла $\alpha$ разложим силы на компоненты в локальной системе координат, связанной с точкой на поверхности. Направим ось $\text{Y}$ к центру Земли, а ось $\text{X}$ — по касательной к поверхности в сторону экватора. Вектор гравитационной силы будет направлен вдоль оси $\text{Y}$: $\vec{F}_g = (0, F_g)$.

Вектор центробежной силы $\vec{F}_ц$ образует угол $\phi$ с направлением, противоположным оси $\text{Y}$. Его можно разложить на компоненты:

$F_{ц,x} = F_ц \sin\phi = m \omega^2 R \cos\phi \sin\phi$ (касательная составляющая)

$F_{ц,y} = F_ц \cos\phi = m \omega^2 R \cos^2\phi$ (радиальная составляющая, направленная от центра)

Тогда компоненты эффективной силы будут:

$F_{эфф,x} = F_{ц,x} = m \omega^2 R \cos\phi \sin\phi$

$F_{эфф,y} = F_g - F_{ц,y} = mg - m \omega^2 R \cos^2\phi$

Тангенс угла отклонения $\alpha$ равен отношению перпендикулярной к гравитационной силе компоненты к параллельной:

$\tan\alpha = \frac{F_{эфф,x}}{F_{эфф,y}} = \frac{m \omega^2 R \cos\phi \sin\phi}{mg - m \omega^2 R \cos^2\phi}$

Сократив массу $\text{m}$, получаем:

$\tan\alpha = \frac{\omega^2 R \cos\phi \sin\phi}{g - \omega^2 R \cos^2\phi}$

Используя тригонометрические формулы $\sin(2\phi) = 2\sin\phi\cos\phi$ и $\cos^2\phi = \frac{1+\cos(2\phi)}{2}$, можно записать:

$\tan\alpha = \frac{\frac{1}{2}\omega^2 R \sin(2\phi)}{g - \frac{1}{2}\omega^2 R (1+\cos(2\phi))}$

Вычислим угловую скорость Земли:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{86400 \text{ с}} \approx 7,272 \cdot 10^{-5} \text{ рад/с}$

Подставим значения для широты $\phi=45^\circ$. При этом $2\phi=90^\circ$, $\sin(90^\circ)=1$ и $\cos(90^\circ)=0$.

$\tan\alpha = \frac{\frac{1}{2}\omega^2 R}{g - \frac{1}{2}\omega^2 R}$

Рассчитаем величину $\frac{1}{2}\omega^2 R$:

$\frac{1}{2}\omega^2 R = \frac{1}{2} (7,272 \cdot 10^{-5})^2 \cdot (6,4 \cdot 10^6) \approx \frac{1}{2} \cdot (5,288 \cdot 10^{-9}) \cdot (6,4 \cdot 10^6) \approx 0,0169 \text{ м/с}^2$

Теперь подставим это значение в формулу для тангенса угла, приняв $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$:

$\tan\alpha = \frac{0,0169}{9,8 - 0,0169} = \frac{0,0169}{9,7831} \approx 0,001727$

Так как угол $\alpha$ очень мал, то $\alpha \approx \tan\alpha$ (в радианах).

$\alpha \approx 0,001727 \text{ рад}$

Переведем в градусы:

$\alpha = 0,001727 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 0,099^\circ$

Это примерно $0,099 \cdot 60' \approx 5,94'$ (угловых минут).

Ответ: Угол отклонения отвеса от направления на центр Земли на широте 45° составляет приблизительно $0,001727$ радиан или $0,099^\circ$.