Номер 10.7, страница 60 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

10.7*1. Какую форму имеет поверхность жидкости во вращающемся цилиндрическом сосуде?

Дано:

Цилиндрический сосуд с жидкостью, вращающийся вокруг своей вертикальной оси с постоянной угловой скоростью $ \omega $.

Найти:

Форму свободной поверхности жидкости $z(r)$.

Решение:

Когда сосуд с жидкостью вращается, через некоторое время жидкость начинает вращаться вместе с ним как одно целое. Чтобы определить форму поверхности, рассмотрим силы, действующие на частицу жидкости массой $\text{m}$ на ее поверхности в неинерциальной системе отсчета, вращающейся вместе с сосудом. На частицу действуют две силы:

1. Сила тяжести $ \vec{F}_g $, направленная вертикально вниз, с модулем $ F_g = mg $, где $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

2. Центробежная сила инерции $ \vec{F}_{cf} $, направленная горизонтально от оси вращения, с модулем $ F_{cf} = m\omega^2r $, где $\text{r}$ — расстояние от частицы до оси вращения.

В состоянии равновесия свободная поверхность жидкости устанавливается так, чтобы она была перпендикулярна равнодействующей этих двух сил $ \vec{F}_{res} = \vec{F}_g + \vec{F}_{cf} $.

Введем систему координат: ось $\text{Oz}$ направим вертикально вверх вдоль оси вращения, а ось $\text{Or}$ — радиально. Начало координат $(0,0)$ расположим в нижней точке искривленной поверхности жидкости. Форма поверхности описывается функцией $z(r)$.

Наклон поверхности в любой точке характеризуется углом $\alpha$ касательной к горизонтальной оси. Тангенс этого угла равен производной $ \frac{dz}{dr} $.

Из условия перпендикулярности поверхности и равнодействующей силы следует, что тангенс угла наклона касательной равен отношению горизонтальной составляющей силы (центробежной) к вертикальной (силе тяжести):

$ \frac{dz}{dr} = \tan \alpha = \frac{F_{cf}}{F_g} = \frac{m\omega^2r}{mg} = \frac{\omega^2r}{g} $

Это дифференциальное уравнение, описывающее кривизну поверхности. Чтобы найти уравнение поверхности $z(r)$, проинтегрируем его:

$ dz = \frac{\omega^2}{g} r \, dr $

Интегрируя обе части, получаем:

$ \int dz = \int \frac{\omega^2}{g} r \, dr $

$ z(r) = \frac{\omega^2}{2g} r^2 + C $

где $\text{C}$ — постоянная интегрирования. Если выбрать начало координат в вершине кривой ($r=0, z=0$), то $C=0$. Тогда уравнение принимает вид:

$ z(r) = \frac{\omega^2 r^2}{2g} $

Это уравнение параболы в сечении $(r, z)$. Поскольку система симметрична относительно оси вращения $\text{Oz}$, вся поверхность является результатом вращения этой параболы вокруг оси $\text{Oz}$. Такая трехмерная фигура называется параболоидом вращения.

Ответ:

Поверхность жидкости во вращающемся цилиндрическом сосуде имеет форму параболоида вращения.