Номер 12, страница 109 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

12. Два нитяных маятника совершают свободные колебания. За одно и то же время первый маятник совершает одно колебание, а второй — четыре. Нить первого маятника

1) в 16 раз длиннее

2) в 4 раза длиннее

3) в 2 раза длиннее

4) в 2 раза короче

Дано:

Число колебаний первого маятника $N_1 = 1$

Число колебаний второго маятника $N_2 = 4$

Время, за которое совершаются колебания, для обоих маятников одинаково: $t_1 = t_2 = t$

Найти:

Отношение длины нити первого маятника ($l_1$) к длине нити второго маятника ($l_2$).

Решение:

Период колебаний ($\text{T}$) — это время, за которое совершается одно полное колебание. Он определяется по формуле: $T = \frac{t}{N}$, где $\text{t}$ — общее время колебаний, а $\text{N}$ — число колебаний за это время.

Найдем периоды колебаний для первого и второго маятников:

Период первого маятника: $T_1 = \frac{t}{N_1} = \frac{t}{1} = t$

Период второго маятника: $T_2 = \frac{t}{N_2} = \frac{t}{4}$

Теперь найдем отношение периодов:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{t}{t/4} = 4$. Таким образом, $T_1 = 4T_2$.

Период колебаний нитяного маятника связан с его длиной ($\text{l}$) и ускорением свободного падения ($\text{g}$) формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Запишем эту формулу для каждого из маятников:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Теперь подставим эти выражения в найденное нами соотношение $T_1 = 4T_2$:

$2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} = 4 \cdot \left(2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}\right)$

Сократим обе части уравнения на $2\pi$:

$\sqrt{\frac{l_1}{g}} = 4\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

$\left(\sqrt{\frac{l_1}{g}}\right)^2 = \left(4\sqrt{\frac{l_2}{g}}\right)^2$

$\frac{l_1}{g} = 16 \cdot \frac{l_2}{g}$

Умножим обе части на $\text{g}$, чтобы найти соотношение длин:

$l_1 = 16l_2$

Это означает, что нить первого маятника в 16 раз длиннее нити второго маятника. Этот результат соответствует варианту ответа 1).

Ответ: 1) в 16 раз длиннее.