Номер 9, страница 109 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

9. На графике представлены результаты измерения длины $\text{l}$ вертикально висящей пружины при различной массе $\text{m}$ груза, подвешенного к ней. Погрешности измерения величин, отложенных по осям, соответствуют высоте и ширине показанных на графике прямоугольников. С учётом погрешности измерений можно утверждать, что жёсткость пружины $\text{k}$ по данным графика приблизительно равна

1) 5 Н/м

2) 10 Н/м

3) 20 Н/м

4) 40 Н/м

Дано:

График зависимости длины пружины $\text{l}$ от массы подвешенного груза $\text{m}$.

Ускорение свободного падения принять равным $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Перевод в систему СИ:

Для расчетов необходимо перевести единицы измерения из графика в систему СИ:

Масса: $1 \text{ г} = 0.001 \text{ кг}$

Длина: $1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Жёсткость пружины $\text{k}$.

Решение:

Согласно закону Гука, при упругой деформации сила упругости, возникающая в пружине, пропорциональна её удлинению $\Delta l$:

$F_{упр} = k \cdot \Delta l$

где $\text{k}$ – жёсткость пружины.

В состоянии равновесия сила упругости уравновешивает силу тяжести, действующую на груз:

$F_{упр} = F_{тяж} = m \cdot g$

Отсюда следует, что $k \cdot \Delta l = m \cdot g$.

Полная длина пружины $\text{l}$ складывается из её начальной длины в недеформированном состоянии $l_0$ и удлинения $\Delta l$: $l = l_0 + \Delta l$.

Выразив $\Delta l = \frac{mg}{k}$, получим зависимость длины пружины от массы груза:

$l(m) = l_0 + \frac{g}{k} \cdot m$

Это уравнение прямой, где угловой коэффициент (тангенс угла наклона) равен $\frac{g}{k}$. Жесткость пружины можно найти, определив по графику изменение длины $\Delta l$ при изменении массы $\Delta m$:

$k = \frac{g \cdot \Delta m}{\Delta l}$

Для уменьшения погрешности выберем на графике две точки, расположенные как можно дальше друг от друга. Возьмем значения из центров прямоугольников погрешностей.

Первая точка: $m_1 = 100 \text{ г}$, $l_1 = 20 \text{ см}$.

Последняя точка: $m_2 = 350 \text{ г}$, $l_2 = 42.5 \text{ см}$.

Переведем эти значения в систему СИ:

$m_1 = 0.1 \text{ кг}$, $l_1 = 0.2 \text{ м}$.

$m_2 = 0.35 \text{ кг}$, $l_2 = 0.425 \text{ м}$.

Найдем изменения массы и длины:

$\Delta m = m_2 - m_1 = 0.35 \text{ кг} - 0.1 \text{ кг} = 0.25 \text{ кг}$

$\Delta l = l_2 - l_1 = 0.425 \text{ м} - 0.2 \text{ м} = 0.225 \text{ м}$

Теперь рассчитаем жёсткость пружины $\text{k}$:

$k = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.25 \text{ кг}}{0.225 \text{ м}} = \frac{2.5 \text{ Н}}{0.225 \text{ м}} = \frac{2500}{225} \text{ Н/м} = \frac{100}{9} \text{ Н/м} \approx 11.1 \text{ Н/м}$

Полученное значение $11.1 \text{ Н/м}$ наиболее близко к варианту ответа $10 \text{ Н/м}$. Проверим, насколько хорошо данные ложатся на прямую, соответствующую $k=10 \text{ Н/м}$.

Если $k = 10 \text{ Н/м}$, то удлинение на каждые $100 \text{ г}$ ($0.1 \text{ кг}$) должно составлять:

$\Delta l = \frac{m \cdot g}{k} = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{10 \text{ Н/м}} = 0.1 \text{ м} = 10 \text{ см}$

Из графика видно, что при увеличении массы от 100 г до 300 г (на 200 г) длина увеличивается примерно с 20 см до 37.5 см (на 17.5 см), что близко к теоретическому значению $2 \cdot 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$. Прямая, соответствующая $k=10 \text{ Н/м}$ проходит через области погрешностей, указанные на графике. Таким образом, с учётом погрешностей можно утверждать, что жёсткость пружины приблизительно равна $10 \text{ Н/м}$.

Ответ: 2) 10 Н/м