Номер 5, страница 108 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

5. С высоты $H = 20 \text{ м}$ свободно падает стальной шарик. Через $t = 1 \text{ с}$ после начала падения он сталкивается с неподвижной плитой, плоскость которой наклонена под углом $30^\circ$ к горизонту. На какую высоту $\text{h}$ над поверхностью Земли поднимется шарик после удара? Удар шарика о плиту считайте абсолютно упругим. Сопротивление воздуха мало.

Дано:

Начальная высота $H = 20$ м

Время падения до столкновения $t = 1$ с

Угол наклона плиты к горизонту $\alpha = 30^\circ$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Все величины заданы в Международной системе единиц (СИ), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Максимальную высоту подъема шарика после удара $\text{h}$.

Решение:

1. Сначала определим параметры движения шарика в момент перед столкновением с плитой. Шарик падает свободно из состояния покоя, поэтому его скорость $v_1$ через время $\text{t}$ после начала падения равна:

$v_1 = g t = 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 1 \, \text{с} = 9.8 \, \text{м/с}$

Эта скорость направлена вертикально вниз.

За это же время шарик пролетит расстояние $s_1$:

$s_1 = \frac{g t^2}{2} = \frac{9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot (1 \, \text{с})^2}{2} = 4.9 \, \text{м}$

Таким образом, столкновение произойдет на высоте $H_1$ над поверхностью Земли:

$H_1 = H - s_1 = 20 \, \text{м} - 4.9 \, \text{м} = 15.1 \, \text{м}$

2. Далее рассмотрим сам абсолютно упругий удар о наклонную плоскость. Для анализа такого удара удобно разложить вектор скорости $v_1$ на две составляющие: перпендикулярную (нормальную) $v_{1\perp}$ и параллельную (тангенциальную) $v_{1\parallel}$ по отношению к плоскости плиты. Угол падения, то есть угол между вектором скорости $v_1$ (вертикаль) и нормалью к наклонной плоскости, равен углу наклона самой плоскости $\alpha$.

Составляющие скорости непосредственно перед ударом:

$v_{1\perp} = v_1 \cos\alpha$ (нормальная составляющая)

$v_{1\parallel} = v_1 \sin\alpha$ (тангенциальная составляющая)

По условию, удар абсолютно упругий. При таком ударе о неподвижную массивную преграду, тангенциальная составляющая скорости сохраняется, а нормальная изменяет свое направление на противоположное, сохраняя при этом свою величину. Обозначим скорость после отскока как $v_2$, а ее составляющие как $v_{2\perp}$ и $v_{2\parallel}$.

3. Теперь найдем компоненты скорости $v_2$ после отскока в лабораторной системе координат (ось Y направлена вертикально вверх, ось X — горизонтально). Для нахождения максимальной высоты подъема нам важна именно вертикальная составляющая скорости $v_{2y}$. Она формируется как сумма проекций тангенциальной и нормальной составляющих скорости после отскока на вертикальную ось.

$v_{2y} = (v_1 \cos\alpha)\cos\alpha - (v_1 \sin\alpha)\sin\alpha = v_1(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = v_1 \cos(2\alpha)$

Подставим числовые значения:

$v_{2y} = 9.8 \, \text{м/с} \cdot \cos(2 \cdot 30^\circ) = 9.8 \, \text{м/с} \cdot \cos(60^\circ) = 9.8 \cdot 0.5 = 4.9 \, \text{м/с}$

4. Наконец, определим максимальную высоту подъема $\text{h}$. После отскока шарик находится на высоте $H_1$ и имеет начальную вертикальную скорость $v_{2y}$, направленную вверх. Дополнительная высота подъема $\Delta h$ находится из закона сохранения энергии для движения вверх (кинетическая энергия вертикального движения переходит в потенциальную):

$m g \Delta h = \frac{m v_{2y}^2}{2} \implies \Delta h = \frac{v_{2y}^2}{2g}$

Подставим вычисленные значения:

$\Delta h = \frac{(4.9 \, \text{м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2} = \frac{24.01}{19.6} \, \text{м} = 1.225 \, \text{м}$

Искомая максимальная высота $\text{h}$ над поверхностью Земли является суммой высоты в момент отскока $H_1$ и дополнительной высоты подъема $\Delta h$.

$h = H_1 + \Delta h = 15.1 \, \text{м} + 1.225 \, \text{м} = 16.325 \, \text{м}$

Ответ: шарик поднимется на высоту $h = 16.325$ м.