Номер 1, страница 115 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 1. В опытах было получено, что в герметичном сосуде, в который помещён радий массой 1 г, за год при нормальных условиях накапливается газообразный гелий объёмом $0,156 \text{ см}^3$. Исходя из этих данных, определите, сколько атомов гелия находится в сосуде объёмом $22,4 \text{ дм}^3$ при нормальных условиях, если известно, что радий массой 1 г испускает за 1 с $1,48 \cdot 10^{11}$ $\alpha$-частиц.

Решение. При одинаковых условиях отношение числа атомов гелия равно отношению объёмов гелия: $\frac{N}{N_1} = \frac{V}{V_1}$, откуда $N_1 = \frac{NV_1}{V}$.

Общее число атомов гелия, выделившихся за год, $N = nt$.

Отсюда искомое число $N_1$ атомов равно:

$N_1 = \frac{ntV_1}{V} = \frac{1,48 \cdot 10^{11} \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600 \cdot 2,24 \cdot 10^{-2}}{1,56 \cdot 10^{-7}} = 6,7 \cdot 10^{23}$.

Дано:

Масса радия: $m = 1 \text{ г}$

Время накопления гелия в опыте: $t_{оп} = 1 \text{ год}$

Объём накопленного гелия в опыте: $V_{оп} = 0.156 \text{ см}^3$

Скорость испускания α-частиц: $n = 1.48 \cdot 10^{11} \text{ с}^{-1}$

Заданный объём гелия: $V_{M} = 22.4 \text{ дм}^3$

Условия: нормальные (н.у.)

Перевод в систему СИ:
$t_{оп} = 1 \text{ год} = 365 \text{ суток} \cdot 24 \frac{\text{ч}}{\text{сутки}} \cdot 3600 \frac{\text{с}}{\text{ч}} = 31\ 536\ 000 \text{ с}$
$V_{оп} = 0.156 \text{ см}^3 = 0.156 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 0.156 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 1.56 \cdot 10^{-7} \text{ м}^3$
$V_{M} = 22.4 \text{ дм}^3 = 22.4 \cdot (10^{-1} \text{ м})^3 = 22.4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 2.24 \cdot 10^{-2} \text{ м}^3$

Найти:

Число атомов гелия в объёме $V_{M}$ — $N_A$?

Решение:

Задача состоит в том, чтобы, используя предоставленные экспериментальные данные, вычислить количество атомов гелия в молярном объёме ($22.4 \text{ дм}^3$ при н.у.), что по сути является определением числа Авогадро.

1. В процессе альфа-распада радий испускает α-частицы, которые являются ядрами атомов гелия. После нейтрализации (захвата электронов) они становятся атомами гелия. Таким образом, число образовавшихся атомов гелия равно числу испущенных α-частиц. Найдем общее число атомов гелия $N_{оп}$, которые образуются из 1 г радия за 1 год ($t_{оп}$).

Зная, что за 1 секунду испускается $n = 1.48 \cdot 10^{11}$ α-частиц, за год (в секундах $t_{оп} = 365 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с}$) образуется:

$N_{оп} = n \cdot t_{оп} = 1.48 \cdot 10^{11} \text{ с}^{-1} \cdot (365 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с}) \approx 4.667 \cdot 10^{18}$ атомов.

2. Из условия задачи известно, что это количество атомов гелия $N_{оп}$ при нормальных условиях занимает объём $V_{оп} = 0.156 \text{ см}^3$.

3. Нам необходимо определить, сколько атомов $N_A$ содержится в объёме $V_M = 22.4 \text{ дм}^3$ при тех же нормальных условиях. Согласно закону Авогадро, для газов при одинаковых температуре и давлении отношение числа частиц к объёму газа является постоянной величиной. На основании этого можно составить пропорцию:

$\frac{N_{оп}}{V_{оп}} = \frac{N_A}{V_M}$

4. Выразим из пропорции искомое число атомов $N_A$:

$N_A = N_{оп} \cdot \frac{V_M}{V_{оп}}$

Подставим в эту формулу выражение для $N_{оп}$ ($N_{оп} = n \cdot t_{оп}$):

$N_A = \frac{n \cdot t_{оп} \cdot V_M}{V_{оп}}$

5. Подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ:

$N_A = \frac{1.48 \cdot 10^{11} \cdot (365 \cdot 24 \cdot 3600) \cdot 2.24 \cdot 10^{-2}}{1.56 \cdot 10^{-7}}$

Выполним вычисления:

$N_A = \frac{(4.6673 \cdot 10^{18}) \cdot (2.24 \cdot 10^{-2})}{1.56 \cdot 10^{-7}} = \frac{1.045 \cdot 10^{17}}{1.56 \cdot 10^{-7}} \approx 0.6698 \cdot 10^{24} \approx 6.7 \cdot 10^{23}$

Ответ: в сосуде объёмом 22,4 дм³ при нормальных условиях находится $6.7 \cdot 10^{23}$ атомов гелия.