Номер 2, страница 115 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 2. Оцените радиус атома алюминия $(\rho = 2,7 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}, M = 2,7 \cdot 10^{-2} \frac{\text{кг}}{\text{моль}})$, приняв, что в алюминии, находящемся в твёрдом состоянии, атомы располагаются вплотную друг к другу.

Решение. Сначала нужно найти объём $V_0$, занимаемый одним атомом алюминия. Для этого разделим объём $V_{\text{М}}$, занимаемый алюминием, взятым в количестве 1 моль, на число атомов алюминия в одном моле:

$V_0 = \frac{V_{\text{М}}}{N_{\text{A}}} = \frac{M}{\rho N_{\text{A}}} = \frac{2,7 \cdot 10^{-2}}{2,7 \cdot 10^3 \cdot 6 \cdot 10^{23}} \left(\text{м}^3\right) \approx 1,7 \cdot 10^{-29} \text{ м}^3$

Длина $\text{l}$ ребра куба, занимаемого атомом,

$l = \sqrt[3]{V_0} = \sqrt[3]{1,7 \cdot 10^{-29} \text{ м}^3} \approx 2,6 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Считая атом алюминия шаром, вписанным в этот куб, получим, что радиус атома алюминия равен половине ребра этого куба: $r = \frac{l}{2} \approx 1,3 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Дано:

Плотность алюминия: $\rho = 2,7 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Молярная масса алюминия: $M = 2,7 \cdot 10^{-2} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Постоянная Авогадро: $N_A \approx 6 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Найти:

Радиус атома алюминия $\text{r}$.

Решение:

Исходя из предположения, что в твердом алюминии атомы упакованы вплотную, мы можем оценить размер одного атома. Для этого сначала найдем объем $V_0$, занимаемый одним атомом. Этот объем можно получить, разделив объем одного моля вещества $V_M$ на количество атомов в моле (число Авогадро $N_A$).

Объем одного моля $V_M$ определяется через молярную массу $\text{M}$ и плотность $\rho$ по формуле $V_M = \frac{M}{\rho}$.

Таким образом, объем, приходящийся на один атом, равен:

$V_0 = \frac{V_M}{N_A} = \frac{M}{\rho N_A}$

Подставим в формулу числовые значения, используя приближенное значение для числа Авогадро, как в исходном примере ($N_A \approx 6 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$):

$V_0 = \frac{2,7 \cdot 10^{-2} \text{ кг/моль}}{2,7 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 6 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} = \frac{10^{-2}}{6 \cdot 10^{26}} \text{ м}^3 = \frac{1}{6} \cdot 10^{-28} \text{ м}^3 \approx 1,7 \cdot 10^{-29} \text{ м}^3$

Для дальнейшей оценки представим, что каждый атом занимает пространство в виде куба объемом $V_0$. Длина ребра $\text{l}$ такого куба будет равна кубическому корню из его объема:

$l = \sqrt[3]{V_0} = \sqrt[3]{1,7 \cdot 10^{-29} \text{ м}^3} \approx 2,6 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Моделируя атом как шар, вписанный в этот куб, его радиус $\text{r}$ будет равен половине ребра куба $\text{l}$.

$r = \frac{l}{2}$

Найдем численное значение радиуса:

$r \approx \frac{2,6 \cdot 10^{-10} \text{ м}}{2} = 1,3 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Ответ: $r \approx 1,3 \cdot 10^{-10} \text{ м}$.