Номер 1, страница 119 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

1. Распределение, которому подчиняются броуновские частицы.

1. Броуновские частицы, находясь во взвешенном состоянии в жидкости или газе, постоянно испытывают хаотические удары со стороны молекул окружающей среды. В результате этого взаимодействия система, состоящая из броуновских частиц и молекул среды, приходит в состояние термодинамического равновесия. Поведение броуновских частиц, как и любых других объектов в такой системе, подчиняется фундаментальным законам статистической физики, и их характеристики описываются соответствующими статистическими распределениями. Можно выделить несколько ключевых распределений.

Во-первых, скорости броуновских частиц в состоянии теплового равновесия подчиняются распределению Максвелла-Больцмана. Это означает, что хотя скорость каждой отдельной частицы непрерывно и хаотически меняется, распределение частиц по модулю скорости $\text{v}$ при заданной температуре $\text{T}$ остается постоянным и описывается функцией плотности вероятности:

$f(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2k_B T}}$

где $\text{m}$ – масса броуновской частицы, $k_B$ – постоянная Больцмана. Из этого распределения следует, что средняя кинетическая энергия поступательного движения броуновской частицы равна средней кинетической энергии молекулы среды: $\langle E_k \rangle = \langle \frac{1}{2}mv^2 \rangle = \frac{3}{2}k_B T$. Этот факт является одним из проявлений закона о равномерном распределении энергии по степеням свободы.

Во-вторых, если броуновские частицы находятся во внешнем потенциальном поле (например, в поле силы тяжести), их концентрация в пространстве становится неоднородной. В состоянии равновесия распределение концентрации частиц $\text{n}$ по координатам подчиняется распределению Больцмана. Вероятность найти частицу в области с потенциальной энергией $\text{U}$ пропорциональна фактору $e^{-U/k_B T}$, а концентрация частиц описывается формулой:

$n = n_0 e^{-\frac{U}{k_B T}}$

где $n_0$ – концентрация в точке, где энергия принята за ноль. Классическим примером является распределение взвешенных частиц по высоте $\text{h}$ в столбе жидкости под действием силы тяжести (барометрическая формула):

$n(h) = n_0 e^{-\frac{m'gh}{k_B T}}$

где $m'$ – "эффективная" масса частицы (с учетом выталкивающей силы Архимеда), а $\text{g}$ – ускорение свободного падения. Экспериментальное подтверждение этого закона в опытах Жана Перрена стало одним из решающих доказательств молекулярно-кинетической теории.

В-третьих, динамика движения отдельной частицы, траектория которой представляет собой случайное блуждание, описывается гауссовым (нормальным) распределением. Смещение частицы $\Delta x$ за определенный промежуток времени $\text{t}$ является случайной величиной. Теория броуновского движения, разработанная Альбертом Эйнштейном, показывает, что для достаточно больших промежутков времени $\text{t}$ распределение проекции смещения частицы на любую ось является гауссовым распределением с нулевым средним значением. Плотность вероятности для смещения $\Delta x$ за время $\text{t}$ имеет вид:

$P(\Delta x, t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} e^{-\frac{(\Delta x)^2}{4Dt}}$

где $\text{D}$ – коэффициент диффузии. Важнейшим результатом теории является то, что средний квадрат смещения частицы прямо пропорционален времени наблюдения: $\langle (\Delta x)^2 \rangle = 2Dt$. Эта зависимость также была подтверждена экспериментально.

Ответ: Броуновские частицы, находясь в термодинамическом равновесии со средой, подчиняются нескольким статистическим распределениям. В частности, их скорости описываются распределением Максвелла-Больцмана, равновесное распределение их концентрации во внешнем потенциальном поле – распределением Больцмана, а распределение смещений отдельной частицы за промежуток времени является гауссовым (нормальным) распределением.