Номер 2, страница 119 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

2. Влияние температуры на скорость и перемещение броуновских частиц.

Броуновское движение — это хаотическое движение микроскопических частиц, взвешенных в жидкости или газе, под действием ударов молекул окружающей среды. Поскольку температура является мерой средней кинетической энергии молекул среды, она напрямую влияет на интенсивность броуновского движения, а именно на скорость и перемещение взвешенных частиц.

Влияние температуры на скорость броуновских частиц

Согласно молекулярно-кинетической теории, средняя кинетическая энергия теплового движения молекул среды прямо пропорциональна абсолютной температуре $\text{T}$. При повышении температуры молекулы жидкости или газа начинают двигаться со значительно большей скоростью. Вследствие этого они сталкиваются с броуновской частицей чаще и с большей силой (передают больший импульс при каждом ударе).

Это интенсивное и энергичное "бомбардирование" со стороны молекул среды заставляет и саму броуновскую частицу двигаться быстрее. В состоянии теплового равновесия, согласно теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы, средняя кинетическая энергия броуновской частицы равна средней кинетической энергии молекул окружающей среды. Для частицы массой $\text{m}$, движущейся в трех измерениях, ее средняя кинетическая энергия выражается формулой:

$ \langle E_k \rangle = \langle \frac{1}{2} m v^2 \rangle = \frac{3}{2} k T $

где $\text{v}$ — скорость частицы, $\text{k}$ — постоянная Больцмана, а $\text{T}$ — абсолютная температура. Из этого соотношения видно, что средний квадрат скорости частицы $ \langle v^2 \rangle $ прямо пропорционален абсолютной температуре:

$ \langle v^2 \rangle = \frac{3kT}{m} $

Таким образом, среднеквадратичная скорость броуновской частицы $ \sqrt{\langle v^2 \rangle} $ пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры ($ \sqrt{T} $).

Ответ: С увеличением температуры средняя скорость движения броуновских частиц возрастает. Эта зависимость выражается тем, что среднеквадратичная скорость частицы пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры.

Влияние температуры на перемещение броуновских частиц

Перемещение броуновской частицы, то есть расстояние, на которое она смещается от начального положения за некоторое время, также сильно зависит от температуры. Это смещение описывается в теории случайных блужданий, разработанной Альбертом Эйнштейном и Марианом Смолуховским.

Среднеквадратичное смещение $ \langle \Delta r^2 \rangle $ частицы за время $\text{t}$ связано с коэффициентом диффузии $\text{D}$ следующим образом (для трехмерного пространства):

$ \langle \Delta r^2 \rangle = 6 D t $

Коэффициент диффузии $\text{D}$ показывает, насколько быстро частицы распространяются в среде, и сам напрямую зависит от температуры. Эта зависимость описывается уравнением Стокса-Эйнштейна:

$ D = \frac{kT}{6\pi\eta a} $

Здесь $\text{T}$ — абсолютная температура, $\text{k}$ — постоянная Больцмана, $\eta$ — динамическая вязкость среды, $\text{a}$ — радиус частицы. Подставив это выражение для $\text{D}$ в предыдущую формулу, получаем прямую связь между среднеквадратичным смещением и температурой:

$ \langle \Delta r^2 \rangle = \frac{kT}{\pi\eta a}t $

Из этой формулы видно, что среднеквадратичное смещение броуновской частицы за определенный промежуток времени прямо пропорционально абсолютной температуре ($ \langle \Delta r^2 \rangle \propto T $). Это означает, что при более высокой температуре частицы в среднем "разлетаются" от начальной точки на большее расстояние.

Ответ: С ростом температуры среднеквадратичное смещение броуновской частицы за одно и то же время увеличивается. Это смещение прямо пропорционально абсолютной температуре, что делает траекторию движения частицы более "размашистой" при нагревании.