Задача, страница 133 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА. При температуре $27^\circ \text{C}$ и давлении $10^5$ Па объём воздушного шара, заполненного гелием, равен $500$ м$^3$. Каким будет объём этого шара при подъёме в верхние слои атмосферы, где его температура понизится до $-33^\circ \text{C}$, а давление окружающего воздуха станет равным $5 \cdot 10^4$ Па? Массу гелия считайте постоянной.

Решение. Из уравнения состояния идеального газа $pV = \frac{m}{M}RT$ следует, что при $m = \text{const}$ выполняется равенство $\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$. Отсюда $V_2 = \frac{p_1V_1T_2}{T_1p_2}$; $V_2 = \frac{10^5 \cdot 500 \cdot 240}{300 \cdot 5 \cdot 10^4} \text{ (м}^3) = 800 \text{ м}^3$.

Дано:

Начальное состояние газа (1):

Температура $t_1 = 27$ °С

Давление $p_1 = 10^5$ Па

Объём $V_1 = 500$ м³

Конечное состояние газа (2):

Температура $t_2 = -33$ °С

Давление $p_2 = 5 \cdot 10^4$ Па

Масса гелия $m = \text{const}$ (постоянна)

Перевод в систему СИ:

Для использования в газовых законах температуру необходимо перевести из шкалы Цельсия (°С) в абсолютную шкалу (Кельвины, К). Перевод осуществляется по формуле $T(\text{К}) = t(\text{°С}) + 273$.

Начальная абсолютная температура: $T_1 = 27 + 273 = 300$ К.

Конечная абсолютная температура: $T_2 = -33 + 273 = 240$ К.

Давление и объём уже даны в единицах системы СИ.

Найти:

$V_2$ — конечный объём шара.

Решение:

Гелий в шаре можно рассматривать как идеальный газ. Поскольку по условию задачи масса гелия остается постоянной, для описания изменения его состояния можно применить объединенный газовый закон (уравнение Клапейрона). Этот закон является следствием уравнения состояния идеального газа Менделеева–Клапейрона ($pV = \frac{m}{M}RT$) и для двух состояний газа записывается как:

$\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$

Из этого соотношения выразим искомый конечный объём $V_2$:

$V_2 = \frac{p_1V_1T_2}{T_1p_2}$

Подставим в формулу числовые значения из условия, предварительно переведенные в систему СИ:

$V_2 = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 500 \text{ м³} \cdot 240 \text{ К}}{300 \text{ К} \cdot 5 \cdot 10^4 \text{ Па}}$

Произведем вычисления:

$V_2 = \frac{10^5 \cdot 500 \cdot 240}{5 \cdot 10^4 \cdot 300} = \left(\frac{10^5}{5 \cdot 10^4}\right) \cdot \left(\frac{240}{300}\right) \cdot 500 = \left(\frac{10}{5}\right) \cdot \left(\frac{24}{30}\right) \cdot 500 = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot 500 = 2 \cdot 400 = 800$ м³

Ответ: объём шара станет равен 800 м³.