Номер 23.7, страница 134 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

23.7. Воздушный шар объёмом $10^3$ м$^3$ заполнен гелием. При нормальных условиях он может поднять полезный груз массой $10^3$ кг. Какой груз может поднять тот же воздушный шар при замене гелия водородом при той же температуре?

Дано:

Объем шара $V = 10^3\text{ м}^3$

Масса полезного груза с гелием $m_1 = 10^3\text{ кг} = 1000\text{ кг}$

Плотность воздуха при нормальных условиях $\rho_{в} \approx 1.29\text{ кг/м}^3$

Плотность гелия при нормальных условиях $\rho_{He} \approx 0.18\text{ кг/м}^3$

Плотность водорода при нормальных условиях $\rho_{H_2} \approx 0.09\text{ кг/м}^3$

Найти:

Массу полезного груза с водородом $m_2$

Решение:

Подъемная сила воздушного шара, равная силе Архимеда, должна уравновешивать его полный вес. Полный вес складывается из веса оболочки шара ($m_{об}$), веса газа-наполнителя ($m_{газа}$) и веса полезного груза ($m_{груза}$).

Условие равновесия для шара, способного поднять груз:

$F_A = (m_{об} + m_{газа} + m_{груза})g$

Сила Архимеда $F_A$ равна весу вытесненного воздуха:

$F_A = \rho_{в} V g$

Масса газа внутри шара равна произведению его плотности на объем:

$m_{газа} = \rho_{газа} V$

Приравняем силы и сократим на $\text{g}$:

$\rho_{в} V = m_{об} + \rho_{газа} V + m_{груза}$

Отсюда можно выразить массу полезного груза:

$m_{груза} = (\rho_{в} - \rho_{газа})V - m_{об}$

Запишем это уравнение для двух случаев.

1. Шар заполнен гелием (He):

$m_1 = (\rho_{в} - \rho_{He})V - m_{об}$

2. Шар заполнен водородом (H₂):

$m_2 = (\rho_{в} - \rho_{H_2})V - m_{об}$

Масса оболочки $m_{об}$ и объем шара $\text{V}$ в обоих случаях одинаковы. Чтобы найти $m_2$, не вычисляя массу оболочки, вычтем из второго уравнения первое:

$m_2 - m_1 = [(\rho_{в} - \rho_{H_2})V - m_{об}] - [(\rho_{в} - \rho_{He})V - m_{об}]$

$m_2 - m_1 = (\rho_{в} - \rho_{H_2})V - (\rho_{в} - \rho_{He})V$

$m_2 - m_1 = (\rho_{в} - \rho_{H_2} - \rho_{в} + \rho_{He})V$

$m_2 - m_1 = (\rho_{He} - \rho_{H_2})V$

Из этого выражения найдем $m_2$:

$m_2 = m_1 + (\rho_{He} - \rho_{H_2})V$

Подставим числовые значения из условия и справочных данных:

$m_2 = 1000\text{ кг} + (0.18\text{ кг/м}^3 - 0.09\text{ кг/м}^3) \cdot 10^3\text{ м}^3$

$m_2 = 1000\text{ кг} + 0.09\text{ кг/м}^3 \cdot 1000\text{ м}^3$

$m_2 = 1000\text{ кг} + 90\text{ кг} = 1090\text{ кг}$

Ответ: $1090\text{ кг}$.