Номер 23.5, страница 134 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

23.5. Объём камеры насоса равен $V_0$. За сколько циклов работы насоса можно накачать автомобильную камеру объёмом $\text{V}$ от давления $p_1$ до давления $p_2$? Температуру газа считайте постоянной.

Дано:

Объём камеры насоса: $V_0$
Объём автомобильной камеры: $\text{V}$
Начальное давление в камере: $p_1$
Конечное давление в камере: $p_2$
Температура газа постоянна: $T = const$

Найти:

Число циклов работы насоса: $\text{N}$

Решение:

Поскольку температура газа в процессе накачивания считается постоянной, процесс является изотермическим. Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона: $pV = \nu RT$, где $\text{p}$ — давление, $\text{V}$ — объём, $\nu$ — количество вещества газа, $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ — абсолютная температура.

Так как $\text{T}$ и $\text{R}$ — константы, количество вещества газа $\nu$ в любом объёме пропорционально произведению $\text{pV}$: $\nu = \frac{pV}{RT}$.

Начальное количество вещества газа в автомобильной камере объёмом $\text{V}$ при давлении $p_1$ равно: $$ \nu_1 = \frac{p_1 V}{RT} $$

Конечное количество вещества газа в той же камере при давлении $p_2$ будет равно: $$ \nu_2 = \frac{p_2 V}{RT} $$

За один цикл работы насос захватывает объём воздуха $V_0$. Будем считать, что насос забирает воздух из окружающей среды, давление которой равно начальному давлению в камере, то есть $p_1$. Это стандартное допущение для подобных задач, если не указано иное (например, что накачивание начинается с атмосферного давления, которое и принимается за $p_1$).

Таким образом, за один цикл в автомобильную камеру добавляется количество вещества газа $\Delta\nu$: $$ \Delta\nu = \frac{p_1 V_0}{RT} $$

За $\text{N}$ циклов работы насоса общее добавленное количество вещества составит $N \cdot \Delta\nu$. Конечное количество вещества в камере $\nu_2$ равно сумме начального количества $\nu_1$ и общего добавленного количества: $$ \nu_2 = \nu_1 + N \cdot \Delta\nu $$

Подставим выражения для $\nu_1$, $\nu_2$ и $\Delta\nu$: $$ \frac{p_2 V}{RT} = \frac{p_1 V}{RT} + N \cdot \frac{p_1 V_0}{RT} $$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{1}{RT}$: $$ p_2 V = p_1 V + N p_1 V_0 $$

Теперь выразим из этого уравнения искомое число циклов $\text{N}$: $$ N p_1 V_0 = p_2 V - p_1 V $$ $$ N p_1 V_0 = (p_2 - p_1)V $$ $$ N = \frac{(p_2 - p_1)V}{p_1 V_0} $$

Формулу также можно представить в виде: $$ N = \frac{V}{V_0} \left(\frac{p_2}{p_1} - 1\right) $$

Ответ: число циклов работы насоса $\text{N}$ можно найти по формуле $N = \frac{V(p_2 - p_1)}{V_0 p_1}$.