Номер 23.10, страница 134 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

23.10. В трубке имеется столбик ртути длиной 10 см, отделяющий некоторый объём воздуха внутри трубки. При вертикальном положении трубки открытым концом вниз длина столбика воздуха над столбиком ртути равна 30 см, при горизонтальном же положении трубки длина столбика воздуха 26 см. Определите по этим данным атмосферное давление воздуха.

Дано:

Длина столбика ртути, $h = 10$ см
Длина столбика воздуха в вертикальном положении, $L_1 = 30$ см
Длина столбика воздуха в горизонтальном положении, $L_2 = 26$ см

Перевод в систему СИ:
$h = 0.1$ м
$L_1 = 0.3$ м
$L_2 = 0.26$ м

Найти:

Атмосферное давление, $p_a$

Решение:

Поскольку температура и количество воздуха в трубке остаются постоянными в ходе эксперимента, процесс изменения состояния запертого воздуха является изотермическим. Следовательно, мы можем применить закон Бойля-Мариотта, который гласит, что для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объём является постоянной величиной: $pV = \text{const}$.

Объём воздуха в трубке $\text{V}$ можно выразить через длину столбика воздуха $\text{L}$ и площадь поперечного сечения трубки $\text{S}$ (которая постоянна): $V = S \cdot L$. Таким образом, закон Бойля-Мариотта для двух состояний газа можно записать как:
$p_1 V_1 = p_2 V_2$
$p_1 (S \cdot L_1) = p_2 (S \cdot L_2)$
Сократив $\text{S}$, получаем: $p_1 L_1 = p_2 L_2$.

Рассмотрим оба положения трубки и определим давление воздуха в каждом случае.

1. Вертикальное положение (открытым концом вниз).
В этом случае запертый воздух находится над столбиком ртути. Давление воздуха в трубке $p_1$ и давление, создаваемое столбиком ртути $p_{Hg}$, вместе действуют вниз. Эти силы уравновешиваются давлением атмосферы $p_a$, действующим снизу вверх. Таким образом, условие равновесия для столбика ртути имеет вид:
$p_a = p_1 + p_{Hg}$
Отсюда давление воздуха в трубке равно:
$p_1 = p_a - p_{Hg}$

2. Горизонтальное положение.
В этом положении столбик ртути не оказывает давления на запертый воздух вдоль оси трубки. Давление воздуха внутри трубки $p_2$ уравновешивается только внешним атмосферным давлением $p_a$.
$p_2 = p_a$

Теперь подставим выражения для $p_1$ и $p_2$ в уравнение $p_1 L_1 = p_2 L_2$:
$(p_a - p_{Hg}) \cdot L_1 = p_a \cdot L_2$

Для удобства вычислений будем выражать все давления в сантиметрах ртутного столба (см рт. ст.). В этих единицах давление, создаваемое столбиком ртути $p_{Hg}$, численно равно его высоте $\text{h}$.
$p_{Hg} = h = 10$ см рт. ст.

Теперь решим уравнение относительно $p_a$:
$p_a L_1 - p_{Hg} L_1 = p_a L_2$
$p_a L_1 - p_a L_2 = p_{Hg} L_1$
$p_a (L_1 - L_2) = p_{Hg} L_1$
$p_a = \frac{p_{Hg} \cdot L_1}{L_1 - L_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:
$p_a = \frac{10 \text{ см рт. ст.} \cdot 30 \text{ см}}{30 \text{ см} - 26 \text{ см}} = \frac{300}{4} \text{ см рт. ст.} = 75 \text{ см рт. ст.}$

Ответ: атмосферное давление воздуха составляет 75 см рт. ст.