Номер 23.9, страница 134 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

23.9*. Два сосуда объёмами $V_1$ и $V_2$ заполнены идеальным газом при давлениях $p_1$ и $p_2$. Какое установится давление в сосудах, если их соединить между собой? Температура газа постоянна.

Дано:

Объем первого сосуда: $V_1$

Объем второго сосуда: $V_2$

Начальное давление в первом сосуде: $p_1$

Начальное давление во втором сосуде: $p_2$

Температура газа постоянна: $T = \text{const}$

Найти:

Установившееся давление в сосудах: $\text{p}$

Решение:

Поскольку процесс происходит при постоянной температуре, его можно считать изотермическим. Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu RT$, где $\nu$ — количество вещества газа, а $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная.

1. Определим количество вещества газа в каждом сосуде до их соединения.

Для первого сосуда:

$p_1V_1 = \nu_1 RT$

Отсюда количество вещества $\nu_1$ равно:

$\nu_1 = \frac{p_1V_1}{RT}$

Для второго сосуда:

$p_2V_2 = \nu_2 RT$

Отсюда количество вещества $\nu_2$ равно:

$\nu_2 = \frac{p_2V_2}{RT}$

2. После соединения сосудов газ займет общий объем, равный сумме объемов двух сосудов:

$V = V_1 + V_2$

Общее количество вещества газа в системе будет равно сумме количеств вещества в каждом из сосудов:

$\nu = \nu_1 + \nu_2 = \frac{p_1V_1}{RT} + \frac{p_2V_2}{RT} = \frac{p_1V_1 + p_2V_2}{RT}$

3. Запишем уравнение состояния для газа в объединенной системе. Пусть $\text{p}$ — установившееся давление. Тогда:

$pV = \nu RT$

Подставим в это уравнение выражения для общего объема $\text{V}$ и общего количества вещества $\nu$:

$p(V_1 + V_2) = \left(\frac{p_1V_1 + p_2V_2}{RT}\right)RT$

Сократим $\text{RT}$ в правой части уравнения:

$p(V_1 + V_2) = p_1V_1 + p_2V_2$

4. Выразим из полученного уравнения искомое давление $\text{p}$:

$p = \frac{p_1V_1 + p_2V_2}{V_1 + V_2}$

Этот результат также можно получить, используя закон Дальтона. После смешения общее давление $\text{p}$ равно сумме парциальных давлений газов. Парциальное давление газа из первого сосуда $p'_1$ в общем объеме $V_1+V_2$ находится из закона Бойля-Мариотта: $p_1V_1 = p'_1(V_1+V_2)$. Аналогично для второго газа: $p_2V_2 = p'_2(V_1+V_2)$. Тогда $p = p'_1 + p'_2 = \frac{p_1V_1}{V_1+V_2} + \frac{p_2V_2}{V_1+V_2} = \frac{p_1V_1 + p_2V_2}{V_1+V_2}$.

Ответ: $p = \frac{p_1V_1 + p_2V_2}{V_1 + V_2}$