Номер 2, страница 179 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

2. Сделайте из проволоки несколько плоских и несколько объёмных каркасов различной формы (например, окружность, прямоугольник, треугольник, параллелепипед, тетраэдр, седло). Опустив в мыльный раствор изготовленный каркас, понаблюдайте за получившейся плёнкой. (Для того чтобы плёнка дольше сохранялась на каркасе, его следует обезжирить, а в мыльный раствор добавить немного глицерина.) Попробуйте объяснить, почему плёнка располагается именно так.

Решение:

Причина, по которой мыльная плёнка принимает ту или иную форму, заключается в фундаментальном физическом принципе: любая система стремится к состоянию с минимальной потенциальной энергией. Для поверхности жидкости эта энергия называется поверхностной энергией и прямо пропорциональна площади поверхности: $E_п = σS$, где $\text{S}$ — площадь поверхности, а $σ$ — коэффициент поверхностного натяжения. Силы поверхностного натяжения действуют подобно упругой плёнке, стремясь сократить площадь поверхности до минимума, возможного при данных граничных условиях (проволочном каркасе). Таким образом, мыльная плёнка всегда принимает форму так называемой минимальной поверхности — поверхности с наименьшей площадью среди всех возможных поверхностей, натянутых на данный контур.

Рассмотрим конкретные случаи для разных каркасов:

Окружность, прямоугольник, треугольник (плоские каркасы)

Когда каркас является плоской фигурой (например, окружность, прямоугольник или треугольник), наименьшая по площади поверхность, которая может на него натянуться, — это плоская плёнка, полностью заполняющая контур. Любой изгиб плёнки приведёт к увеличению её площади и, следовательно, к увеличению её потенциальной энергии, что энергетически невыгодно.

Ответ: Для плоских каркасов (окружность, прямоугольник, треугольник) плёнка будет представлять собой плоскую поверхность, ограниченную контуром каркаса.

Параллелепипед (или куб)

В случае с объёмным каркасом, таким как куб, плёнка не будет просто обволакивать его грани, так как это не создаст минимальную поверхность. Вместо этого плёнка сформирует сложную структуру внутри куба. Она будет состоять из нескольких плоских участков, которые соединяются в центре. В центре куба образуется маленький горизонтальный квадрат из мыльной плёнки, от углов которого к рёбрам куба отходят другие плёнки. Эта конфигурация имеет значительно меньшую общую площадь, чем если бы плёнка покрывала все шесть граней куба. Плёнки сходятся под определёнными углами: рёбра, где встречаются три плёнки, всегда образуют углы в 120°, а в центральной точке, где сходятся четыре ребра, углы между ними являются тетраэдрическими (около 109.5°).

Ответ: В каркасе параллелепипеда (куба) плёнка образует сложную внутреннюю структуру из нескольких пересекающихся плоскостей, сходящихся в центре, так как такая конфигурация имеет минимальную суммарную площадь.

Тетраэдр

Аналогично кубу, для тетраэдра плёнка не покроет его четыре грани. Вместо этого из шести рёбер тетраэдра к его геометрическому центру сойдутся шесть треугольных мыльных плёнок. Они встретятся в центре тетраэдра в одной точке. Эта система из шести плёнок, сходящихся в центре, обладает меньшей суммарной площадью, чем площадь четырёх граней тетраэдра.

Ответ: В каркасе тетраэдра плёнка образует шесть треугольных поверхностей, которые соединяют рёбра каркаса с его центральной точкой.

Седло

Седловидная поверхность (гиперболический параболоид) сама по себе является классическим примером минимальной поверхности. Если проволочный каркас изначально имеет форму, например, двух скрещивающихся парабол, то натянувшаяся на него мыльная плёнка естественным образом примет форму седла. Это происходит потому, что для такого искривлённого контура именно седловидная поверхность обладает минимально возможной площадью.

Ответ: Если каркас имеет форму контура седловидной поверхности, то мыльная плёнка примет форму седла, так как это и есть минимальная поверхность для данного контура.