Опыты, страница 190 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

Проведите опыт со шприцем, описанный в предыдущем параграфе. Рассчитайте работу, совершённую вами при изменении объёма газа.

Позвольте поршню шприца свободно перемещаться. Рассчитайте работу, которую совершит поршень.

Сравните полученные значения работы. Объясните, почему они различаются.

Проведите опыт со шприцем, описанный в предыдущем параграфе. Рассчитайте работу, совершённую вами при изменении объёма газа.

Для проведения опыта и расчёта возьмём условный медицинский шприц. Опыт будет состоять из следующих шагов:
1. Набираем в шприц воздух до отметки $V_1$. Давление воздуха внутри шприца равно атмосферному, $p_1 = p_{атм}$.
2. Плотно закрываем выходное отверстие шприца.
3. Медленно сжимаем газ в шприце, перемещая поршень до отметки $V_2$. Будем считать процесс изотермическим (происходящим при постоянной температуре), так как он выполняется медленно.

Теперь рассчитаем работу, совершённую вами ($A_1$). При сжатии газа мы прикладываем силу к поршню, которая противодействует давлению газа внутри. При этом атмосферное давление снаружи помогает сжатию. Сила, которую мы должны приложить, равна $F_{внешн} = (p_{газа} - p_{атм})S$, где $\text{S}$ — площадь поршня.

Работа, совершаемая нами, вычисляется как интеграл: $A_1 = \int_{V_2}^{V_1} (p_{газа}(V) - p_{атм}) dV$

Для изотермического процесса справедлив закон Бойля-Мариотта $p_{газа}(V) \cdot V = p_1 \cdot V_1$. Отсюда $p_{газа}(V) = \frac{p_1 V_1}{V}$. Подставим в формулу для работы: $A_1 = \int_{V_2}^{V_1} (\frac{p_1 V_1}{V} - p_{атм}) dV = p_1 V_1 \int_{V_2}^{V_1} \frac{dV}{V} - p_{атм} \int_{V_2}^{V_1} dV$

$A_1 = p_1 V_1 \ln\frac{V_1}{V_2} - p_{атм}(V_1 - V_2)$

Поскольку $p_1 = p_{атм}$, формула принимает вид: $A_1 = p_{атм} \left( V_1 \ln\frac{V_1}{V_2} - (V_1 - V_2) \right)$

Дано:

$V_1 = 20 \text{ мл}$
$V_2 = 10 \text{ мл}$
$p_{атм} \approx 101325 \text{ Па} \approx 10^5 \text{ Па}$

$V_1 = 20 \times 10^{-6} \text{ м}^3$
$V_2 = 10 \times 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

$A_1$ — работа, совершённая человеком.

Решение:

Подставим числовые значения в выведенную формулу: $A_1 = 10^5 \text{ Па} \cdot \left( (20 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3) \cdot \ln\frac{20 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3}{10 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3} - (20 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 - 10 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3) \right)$
$A_1 = 10^5 \cdot \left( (20 \cdot 10^{-6}) \cdot \ln(2) - (10 \cdot 10^{-6}) \right)$
Используя значение $\ln(2) \approx 0.693$:
$A_1 = 10^5 \cdot (20 \cdot 0.693 \cdot 10^{-6} - 10 \cdot 10^{-6}) = 10^5 \cdot (13.86 \cdot 10^{-6} - 10 \cdot 10^{-6})$
$A_1 = 10^5 \cdot (3.86 \cdot 10^{-6}) = 0.386 \text{ Дж}$

Ответ: работа, совершённая вами при сжатии газа в идеальных условиях, составляет примерно 0.386 Дж.

Позвольте поршню шприца свободно перемещаться. Рассчитайте работу, которую совершит поршень.

После сжатия газа до объёма $V_2$ мы отпускаем поршень. Давление газа внутри шприца ($p_2 = p_1 \frac{V_1}{V_2} = 2 p_{атм}$) превышает атмосферное, поэтому газ расширяется и толкает поршень наружу. В идеальном случае (изотермический процесс) поршень вернётся в исходное положение $V_1$, где давление снова станет равным атмосферному.

Работа, которую совершит поршень ($A_2$), — это работа, совершаемая газом против внешнего атмосферного давления. Расчет этой работы полностью аналогичен расчету работы $A_1$, так как процесс проходит по тому же пути на диаграмме p-V, но в обратном направлении.

$A_2 = \int_{V_2}^{V_1} (p_{газа}(V) - p_{атм}) dV = p_{атм} \left( V_1 \ln\frac{V_1}{V_2} - (V_1 - V_2) \right)$

Дано:

$V_1 = 20 \text{ мл} = 20 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$
$V_2 = 10 \text{ мл} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$
$p_{атм} \approx 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$A_2$ — работа, совершённая поршнем.

Решение:

Расчёт идентичен предыдущему пункту: $A_2 = 10^5 \text{ Па} \cdot \left( (20 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3) \cdot \ln\frac{20}{10} - (20 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 - 10 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3) \right)$
$A_2 = 0.386 \text{ Дж}$

Ответ: в идеализированном случае работа, которую совершит поршень при расширении, составляет 0.386 Дж.

Сравните полученные значения работы. Объясните, почему они различаются.

В наших идеализированных расчётах, где процесс считался обратимым (изотермическим и без трения), работа, совершённая нами при сжатии газа ($A_1$), оказалась равной работе, совершённой поршнем при расширении ($A_2$): $A_1 = A_2 = 0.386 \text{ Дж}$.

Однако в реальном эксперименте эти значения будут различаться. Работа, затраченная вами, будет больше работы, совершённой поршнем: $A_{1,реальная} > A_{2,реальная}$. Это происходит из-за необратимости реальных процессов. Основные причины две:

1. Наличие силы трения. Между поршнем и стенками шприца всегда есть трение. - При сжатии газа вам приходится совершать дополнительную работу для преодоления силы трения. - При расширении газа сила трения направлена против движения, поэтому часть работы газа уходит на её преодоление, и полезная работа поршня уменьшается. Таким образом, часть затраченной вами энергии рассеивается в виде тепла из-за трения.

2. Необратимый теплообмен. Реальный процесс сжатия и расширения не является строго изотермическим. - Если сжимать газ быстро, он нагревается (процесс близок к адиабатическому). Давление в шприце растет сильнее, чем при медленном сжатии, и вам приходится совершать большую работу. - Затем нагретый газ остывает, отдавая тепло окружающей среде, и его давление падает. - Когда вы отпускаете поршень, расширение газа начинается с уже более низкого давления. Работа, совершаемая газом при расширении, оказывается меньше работы, затраченной на его сжатие. В итоге часть механической работы, которую вы совершаете, превращается во внутреннюю энергию газа, а затем рассеивается в окружающую среду в виде тепла.

Ответ: в идеальном обратимом процессе работы равны. В реальности работа, совершённая человеком ($A_1$), всегда будет больше работы, совершённой поршнем ($A_2$), из-за энергетических потерь на трение и необратимого теплообмена с окружающей средой.