Номер 1, страница 221 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 1. На рисунке 3.23 представлена диаграмма цикла, осуществлённого с одноатомным идеальным газом, взятым в количестве 0,2 моль. Участки ВС и DA — адиабаты. Вычислите коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по этому циклу. Определите работу, совершённую газом на участке ВС. Определите максимальный КПД тепловой машины с нагревателем и холодильником, если в точке В газ находился в тепловом равновесии с нагревателем, а в точке D — в тепловом равновесии с холодильником.

Решение. Так как участки ВС и DA адиабаты, то передача количества теплоты $Q_1$ от нагревателя осуществляется только при изохорном процессе АВ, а передача количества теплоты $Q_2$ холодильнику — только при изохорном процессе CD.

При изохорных процессах работа равна нулю, поэтому из первого закона термодинамики следует: $Q_1 = \Delta U_1$ и $Q_2 = \Delta U_2$.

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ одноатомного идеального газа при изохорном процессе

$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T = \frac{3}{2} V \Delta p$

следовательно,

$Q_1 = \frac{3}{2} V_A \Delta p_{AB}$, $Q_2 = \frac{3}{2} V_C \Delta p_{CD}$

Работа А, совершённая за цикл, равна:

$A = Q_1 - Q_2 = \frac{3}{2} (V_A \Delta p_{AB} - V_C \Delta p_{CD})$

КПД цикла

$\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = \frac{V_A \Delta p_{AB} - V_C \Delta p_{CD}}{V_A \Delta p_{AB}} = 1 - \frac{V_C \Delta p_{CD}}{V_A \Delta p_{AB}}$

Рис. 3.23

Подставив данные величин из диаграммы на рисунке 3.23, получим

$\eta = 1 - \frac{6 \cdot 10^{-3} \cdot 2.5 \cdot 10^5}{3 \cdot 10^{-3} \cdot 8 \cdot 10^5} = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} = 0.375$

Работа газа при адиабатном расширении из состояния В в состояние С равна изменению внутренней энергии газа, взятому с противоположным знаком: $A_{BC} = -\Delta U_{BC} = \frac{3}{2} \nu R (T_B - T_C)$.

Используя уравнение состояния идеального газа, находим значения температуры в точках В, С и D:

$T_B = \frac{p_B V_B}{\nu R} = \frac{11 \cdot 10^5 \cdot 3 \cdot 10^{-3}}{0.2 \cdot 8.31} \text{ (К)} = 1986 \text{ К}$

$T_C = \frac{p_C V_C}{\nu R} = \frac{3.5 \cdot 10^5 \cdot 6 \cdot 10^{-3}}{0.2 \cdot 8.31} \text{ (К)} = 1263 \text{ К}$

$T_D = \frac{p_D V_D}{\nu R} = \frac{1 \cdot 10^5 \cdot 6 \cdot 10^{-3}}{0.2 \cdot 8.31} \text{ (К)} = 361 \text{ К}$

Работа на участке ВС:

$A_{BC} = \frac{3}{2} \nu R (T_B - T_C) =$

$= \frac{3}{2} \cdot 0.2 \cdot 8.31 \cdot 723 \text{ (Дж)}=$

$= 1802 \text{ Дж} = 1.8 \text{ кДж}$.

Максимальный КПД тепловой машины

$\eta_{\text{max}} = \frac{T_1 - T_2}{T_2} = \frac{T_B - T_D}{T_B} = \frac{1986 - 361}{1986} = 0.82$

Как видно, КПД исследуемого цикла в 2,2 раза меньше КПД цикла Карно, работающего в том же температурном интервале.

Дано:

Цикл с идеальным одноатомным газом (см. p-V диаграмму)

Количество вещества: $ \nu = 0,2 \, \text{моль} $

Процессы: AB и CD – изохорные, BC и DA – адиабатные.

Параметры в точках (из графика):

$ p_A = 3 \cdot 10^5 \, \text{Па} $, $ V_A = 3 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3 $

$ p_B = 11 \cdot 10^5 \, \text{Па} $, $ V_B = 3 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3 $

$ p_C = 3,5 \cdot 10^5 \, \text{Па} $, $ V_C = 6 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3 $

$ p_D = 1 \cdot 10^5 \, \text{Па} $, $ V_D = 6 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3 $

Универсальная газовая постоянная: $ R \approx 8,31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)} $

Температура нагревателя $ T_H = T_B $, температура холодильника $ T_{хол} = T_D $.

Найти:

1. Коэффициент полезного действия цикла $ \eta $.

2. Работу газа на участке BC, $ A_{BC} $.

3. Максимальный КПД тепловой машины $ \eta_{max} $.

Решение:

Вычислите коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по этому циклу.

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины определяется формулой:

$ \eta = \frac{A_{цикл}}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} $

где $ Q_1 $ – количество теплоты, полученное от нагревателя, а $ Q_2 $ – количество теплоты, отданное холодильнику.

Теплота подводится на изохорном участке AB ($ V = \text{const} $) и отводится на изохорном участке CD ($ V = \text{const} $). Участки BC и DA являются адиабатами, поэтому теплообмен на них отсутствует ($ Q = 0 $).

При изохорном процессе работа газа равна нулю. Согласно первому закону термодинамики, вся теплота идет на изменение внутренней энергии:

$ Q = \Delta U $

Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии можно выразить через изменение давления при постоянном объеме:

$ \Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T = \frac{3}{2}V \Delta p $

Теплота, полученная от нагревателя на участке AB:

$ Q_1 = Q_{AB} = \Delta U_{AB} = \frac{3}{2}V_A(p_B - p_A) $

Теплота, отданная холодильнику на участке CD (по модулю):

$ Q_2 = |Q_{CD}| = |\Delta U_{CD}| = |\frac{3}{2}V_C(p_D - p_C)| = \frac{3}{2}V_C(p_C - p_D) $

Подставим выражения для $ Q_1 $ и $ Q_2 $ в формулу для КПД:

$ \eta = 1 - \frac{\frac{3}{2}V_C(p_C - p_D)}{\frac{3}{2}V_A(p_B - p_A)} = 1 - \frac{V_C(p_C - p_D)}{V_A(p_B - p_A)} $

Подставим значения из графика:

$ p_B - p_A = (11 - 3) \cdot 10^5 \, \text{Па} = 8 \cdot 10^5 \, \text{Па} $

$ p_C - p_D = (3,5 - 1) \cdot 10^5 \, \text{Па} = 2,5 \cdot 10^5 \, \text{Па} $

$ \eta = 1 - \frac{(6 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3) \cdot (2,5 \cdot 10^5 \, \text{Па})}{(3 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3) \cdot (8 \cdot 10^5 \, \text{Па})} = 1 - \frac{15 \cdot 10^2}{24 \cdot 10^2} = 1 - \frac{15}{24} = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} = 0,375 $

Ответ: КПД тепловой машины равен 0,375 или 37,5%.

Определите работу, совершённую газом на участке ВС.

Участок BC – адиабатное расширение. Для адиабатного процесса $ Q=0 $. По первому закону термодинамики работа совершается за счет убыли внутренней энергии:

$ A_{BC} = -\Delta U_{BC} = -(U_C - U_B) = U_B - U_C $

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа: $ U = \frac{3}{2}\nu RT $.

Тогда работа: $ A_{BC} = \frac{3}{2}\nu R(T_B - T_C) $.

Найдем температуры в точках B и C, используя уравнение состояния идеального газа $ pV = \nu RT \Rightarrow T = \frac{pV}{\nu R} $.

$ T_B = \frac{p_B V_B}{\nu R} = \frac{(11 \cdot 10^5 \, \text{Па}) \cdot (3 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3)}{0,2 \, \text{моль} \cdot 8,31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}} \approx \frac{3300}{1,662} \approx 1986 \, \text{К} $

$ T_C = \frac{p_C V_C}{\nu R} = \frac{(3,5 \cdot 10^5 \, \text{Па}) \cdot (6 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3)}{0,2 \, \text{моль} \cdot 8,31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}} \approx \frac{2100}{1,662} \approx 1263 \, \text{К} $

Теперь вычислим работу:

$ A_{BC} = \frac{3}{2} \cdot 0,2 \, \text{моль} \cdot 8,31 \, \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot (1986 \, \text{К} - 1263 \, \text{К}) = \frac{3}{2} \cdot 0,2 \cdot 8,31 \cdot 723 \, \text{Дж} \approx 1802 \, \text{Дж} $

Ответ: Работа, совершённая газом на участке BC, равна 1802 Дж или 1,8 кДж.

Определите максимальный КПД тепловой машины с нагревателем и холодильником.

Максимальный возможный КПД для тепловой машины, работающей между температурами нагревателя $ T_H $ и холодильника $ T_{хол} $, соответствует КПД цикла Карно:

$ \eta_{max} = \eta_{Карно} = 1 - \frac{T_{хол}}{T_H} $

По условию, температура нагревателя равна температуре газа в точке B ($ T_H = T_B $), а температура холодильника равна температуре газа в точке D ($ T_{хол} = T_D $). Эти температуры являются максимальной и минимальной в данном цикле.

Температуру $ T_B $ мы уже нашли: $ T_B \approx 1986 \, \text{К} $.

Найдем температуру в точке D:

$ T_D = \frac{p_D V_D}{\nu R} = \frac{(1 \cdot 10^5 \, \text{Па}) \cdot (6 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3)}{0,2 \, \text{моль} \cdot 8,31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}} \approx \frac{600}{1,662} \approx 361 \, \text{К} $

Вычислим максимальный КПД:

$ \eta_{max} = 1 - \frac{T_D}{T_B} = 1 - \frac{361 \, \text{К}}{1986 \, \text{К}} \approx 1 - 0,1818 = 0,8182 $

Округляя до сотых, получаем $ \eta_{max} \approx 0,82 $.

Ответ: Максимальный КПД тепловой машины равен 0,82 или 82%.