Номер 2, страница 222 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 2. Космический корабль массой 4,0 т двигался вокруг Земли по круговой орбите на высоте $h_1 = 200$ км от её поверхности. В результате включения на короткое время $\Delta t$ ракетного двигателя скорость космического корабля увеличилась на $\Delta \upsilon = 10 \frac{\text{М}}{\text{c}}$, а траектория движения стала эллипсом с минимальным удалением от поверхности Земли $h_1 = 200$ км и максимальным удалением от поверхности Земли $h_2 = 234$ км. С какой скоростью $\upsilon_2$ движется космический корабль в точке максимального удаления от поверхности Земли? Чему равны сила тяги $\text{F}$ ракетного двигателя, время $\Delta t$ его работы, масса $\Delta m$ израсходованного топлива? Изменение массы космического корабля не учитывайте. Масса Земли и её радиус соответственно равны $М = 6 \cdot 10^{24}$ кг и $R = 6370$ км, гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$, секундный расход топлива $\mu = \frac{\Delta m}{\Delta t} = 1 \frac{\text{кг}}{\text{c}}$, скорость истечения газов $\upsilon = 4,0 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$, удельная теплота сгорания горючего и окислителя $q = 1,2 \cdot 10^7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$.

Решение. Скорость $\upsilon_1$ космического корабля в точке минимального удаления от поверхности Земли после его ускорения $\upsilon_1 = \upsilon_0 + \Delta \upsilon$. Скорость $\upsilon_0$ движения по круговой орбите можно найти из уравнения $ \frac{m\upsilon_0^2}{R_1} = G \frac{Mm}{R_1^2} $, где $R_1 = R + h_1 = 6,57 \cdot 10^6$ м, отсюда

$ \upsilon_1 = \sqrt{\frac{GM}{R_1}} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{6,57 \cdot 10^6}} \left(\frac{\text{М}}{\text{c}}\right) = 7,805 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{c}} $.

Следовательно, на минимальном удалении от Земли скорость ракеты $\upsilon_1 = 7,805 \cdot 10^3 \frac{\text{М}}{\text{c}} + 10 \frac{\text{М}}{\text{c}} = 7,815 \cdot 10^3 \frac{\text{М}}{\text{c}}$.

По закону сохранения момента импульса для космического корабля выполняется равенство $m\upsilon_1 R_1 = m\upsilon_2 R_2$, где $R_2 = R + h_2 = 6,604 \cdot 10^6$ м. Поэтому скорость $\upsilon_2$ в точке максимального удаления

$ \upsilon_2 = \frac{7,815 \cdot 10^3 \cdot 6,570 \cdot 10^6}{6,604 \cdot 10^6} \left(\frac{\text{М}}{\text{c}}\right) = 7,775 \cdot 10^3 \frac{\text{М}}{\text{c}} $.

Силу тяги $\text{F}$ ракетного двигателя найдём из уравнения $F \Delta t = \Delta m \upsilon$, где $\Delta m$ — масса газов, выброшенных ракетным двигателем за время $\Delta t$; $\upsilon$ — скорость истечения газовой струи. Перепишем это уравнение в виде

$ F = \frac{\Delta m}{\Delta t} \upsilon = \mu \upsilon = 1 \cdot 4,0 \cdot 10^3 (\text{Н}) = 4 \text{ кН} $.

Время работы двигателя можно найти по изменению импульса космического корабля: $F \Delta t = m \Delta \upsilon$, где $\text{m}$ — масса космического корабля; $\Delta \upsilon$ — изменение его скорости. Итак,

$ \Delta t = \frac{m \Delta \upsilon}{F} = \frac{4,0 \cdot 10^3 \cdot 10}{4,0 \cdot 10^3} (\text{c}) = 10 \text{ c} $.

Массу $\Delta m$ израсходованного топлива и окислителя можно найти по закону сохранения импульса для системы корабль—горючее: $m \Delta \upsilon = \Delta m \upsilon$, откуда

$ \Delta m = \frac{m \Delta \upsilon}{\upsilon} = \frac{4,0 \cdot 10^3 \cdot 10}{4,0 \cdot 10^3} (\text{кг}) = 10 \text{ кг} $.

Коэффициент полезного действия ракетного двигателя определяется выражением $\eta = \frac{N}{Q_c}$, где $\text{N}$ — мощность двигателя; $Q_c$ — количество теплоты, ежесекундно выделяющейся при сжигании топлива.

Так как $N = \frac{\mu \upsilon^2}{2}$, а $Q_c = \mu q$, то КПД ракеты

$ \eta = \frac{\upsilon^2}{2q} = \frac{16 \cdot 10^6}{21,2 \cdot 10^7} = 0,67 $.

Дано:

Масса космического корабля $m = 4,0 \text{ т}$
Начальная высота круговой орбиты $h_1 = 200 \text{ км}$
Приращение скорости $\Delta v = 10 \text{ м/с}$
Максимальная высота на эллиптической орбите $h_2 = 234 \text{ км}$
Масса Земли $M = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$
Радиус Земли $R = 6370 \text{ км}$
Гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$
Секундный расход топлива $\mu = 1 \text{ кг/с}$
Скорость истечения газов $v = 4,0 \cdot 10^3 \text{ м/с}$
Удельная теплота сгорания топлива $q = 1,2 \cdot 10^7 \text{ Дж/кг}$

$m = 4,0 \cdot 10^3 \text{ кг}$
$h_1 = 200 \cdot 10^3 \text{ м} = 2 \cdot 10^5 \text{ м}$
$h_2 = 234 \cdot 10^3 \text{ м} = 2,34 \cdot 10^5 \text{ м}$
$R = 6370 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,37 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$v_2, F, \Delta t, \Delta m$

Решение:

Скорость $v_2$ в точке максимального удаления

Сначала найдем скорость $v_0$ корабля на начальной круговой орбите. Второй закон Ньютона для движения по окружности под действием силы тяжести: $m \frac{v_0^2}{R_1} = G \frac{Mm}{R_1^2}$, где $R_1$ - радиус орбиты. $R_1 = R + h_1 = 6,37 \cdot 10^6 \text{ м} + 0,2 \cdot 10^6 \text{ м} = 6,57 \cdot 10^6 \text{ м}$. Отсюда скорость на круговой орбите: $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R_1}} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{6,57 \cdot 10^6}} \approx 7805 \text{ м/с}$. После кратковременного включения двигателя скорость корабля в этой точке (перигее новой эллиптической орбиты) становится равной: $v_1 = v_0 + \Delta v = 7805 \text{ м/с} + 10 \text{ м/с} = 7815 \text{ м/с}$. Для нахождения скорости $v_2$ в апогее (точке максимального удаления) воспользуемся законом сохранения момента импульса для центрального поля тяготения: $m v_1 R_1 = m v_2 R_2$, где $R_2$ - расстояние до центра Земли в апогее. $R_2 = R + h_2 = 6,37 \cdot 10^6 \text{ м} + 0,234 \cdot 10^6 \text{ м} = 6,604 \cdot 10^6 \text{ м}$. Выразим и вычислим скорость $v_2$: $v_2 = v_1 \frac{R_1}{R_2} = 7815 \cdot \frac{6,57 \cdot 10^6}{6,604 \cdot 10^6} \approx 7775 \text{ м/с}$.

Ответ: Скорость корабля в точке максимального удаления от поверхности Земли составляет приблизительно $7775 \text{ м/с}$.

Сила тяги $\text{F}$ ракетного двигателя

Сила тяги (реактивная сила) создается за счет выбрасывания продуктов сгорания. Она равна произведению секундного расхода массы топлива $\mu$ на скорость истечения газов $\text{v}$ относительно ракеты: $F = \mu v$. Подставляем данные: $F = 1 \text{ кг/с} \cdot 4,0 \cdot 10^3 \text{ м/с} = 4000 \text{ Н} = 4 \text{ кН}$.

Ответ: Сила тяги ракетного двигателя равна $4 \text{ кН}$.

Время $\Delta t$ работы двигателя

Время работы двигателя можно найти из закона изменения импульса для космического корабля. Импульс силы тяги равен изменению импульса корабля (при этом пренебрегаем изменением массы корабля, как указано в условии для данного расчета): $F \Delta t = m \Delta v$. Отсюда выразим время $\Delta t$: $\Delta t = \frac{m \Delta v}{F} = \frac{4,0 \cdot 10^3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}}{4000 \text{ Н}} = 10 \text{ с}$.

Ответ: Время работы двигателя составляет $10 \text{ с}$.

Масса $\Delta m$ израсходованного топлива

Масса израсходованного топлива - это произведение секундного расхода топлива на время работы двигателя: $\Delta m = \mu \Delta t$. $\Delta m = 1 \text{ кг/с} \cdot 10 \text{ с} = 10 \text{ кг}$. Этот же результат можно получить из закона сохранения импульса для системы "корабль-топливо": изменение импульса корабля равно импульсу выброшенных газов. $m \Delta v = \Delta m \cdot v \implies \Delta m = \frac{m \Delta v}{v} = \frac{4,0 \cdot 10^3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}}{4,0 \cdot 10^3 \text{ м/с}} = 10 \text{ кг}$.

Ответ: Масса израсходованного топлива равна $10 \text{ кг}$.

Коэффициент полезного действия $\eta$

Коэффициент полезного действия ракетного двигателя определяется как отношение полезной мощности (кинетической мощности газовой струи) $\text{N}$ к затраченной (тепловой мощности от сгорания топлива) $Q_c$. $N = \frac{1}{2}\mu v^2$ - мощность, идущая на сообщение кинетической энергии выбрасываемым газам. $Q_c = \mu q$ - тепловая мощность, выделяемая при сгорании топлива. $\eta = \frac{N}{Q_c} = \frac{\frac{1}{2}\mu v^2}{\mu q} = \frac{v^2}{2q}$. $\eta = \frac{(4,0 \cdot 10^3)^2}{2 \cdot 1,2 \cdot 10^7} = \frac{16 \cdot 10^6}{2,4 \cdot 10^7} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \approx 0,67$.

Ответ: КПД двигателя составляет примерно $67\%$.