Номер 41.3, страница 224 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

41.3. Газотурбинная установка работает по циклу (рис. 3.26), состоящему из двух адиабат (1,2; 3,4) и двух изобар. Рассчитайте КПД такого двигателя, если температуры газа $T_1 = 300 \, \text{К}$, $T_2 = 900 \, \text{К}$, $T_3 = 1800 \, \text{К}$.

Указание: для нахождения $T_4$ воспользуйтесь формулой Пуассона для адиабатного процесса. Газ одноатомный.

Рис. 3.26

Дано:

$T_1 = 300$ К

$T_2 = 900$ К

$T_3 = 1800$ К

Цикл: две адиабаты (1-2, 3-4) и две изобары (2-3, 4-1).

Газ: одноатомный.

Найти:

$\eta$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется по формуле:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{Q_{нагревателя}} = \frac{Q_{нагревателя} - |Q_{холодильника}|}{Q_{нагревателя}} = 1 - \frac{|Q_{холодильника}|}{Q_{нагревателя}}$

В рассматриваемом цикле (цикл Брайтона) тепло подводится к газу в процессе изобарного расширения 2-3, а отводится от газа в процессе изобарного сжатия 4-1. Процессы 1-2 (адиабатное сжатие) и 3-4 (адиабатное расширение) происходят без теплообмена с окружающей средой.

Количество теплоты, полученное от нагревателя на участке 2-3, равно:

$Q_{нагревателя} = Q_{23} = \nu C_p (T_3 - T_2)$

где $\nu$ - количество вещества газа, а $C_p$ - молярная теплоемкость при постоянном давлении.

Количество теплоты, отданное холодильнику на участке 4-1, по модулю равно:

$|Q_{холодильника}| = |Q_{41}| = |\nu C_p (T_1 - T_4)| = \nu C_p (T_4 - T_1)$ (т.к. в процессе охлаждения $T_4 > T_1$).

Подставим выражения для теплот в формулу для КПД:

$\eta = 1 - \frac{\nu C_p (T_4 - T_1)}{\nu C_p (T_3 - T_2)} = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}$

Для вычисления КПД необходимо найти температуру газа в состоянии 4 ($T_4$). Согласно указанию, воспользуемся уравнением Пуассона для адиабатных процессов. В переменных «температура-давление» ($T, p$) уравнение адиабаты имеет вид $T p^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = \text{const}$, где $\gamma$ — показатель адиабаты (для одноатомного газа $\gamma = 5/3$).

Для адиабатного процесса 1-2 запишем:

$T_1 p_1^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_2 p_2^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} \implies \frac{T_2}{T_1} = (\frac{p_2}{p_1})^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$

Для адиабатного процесса 3-4 запишем:

$T_3 p_3^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_4 p_4^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}$

Учитывая, что процессы 2-3 и 4-1 являются изобарными, имеем $p_2 = p_3$ и $p_4 = p_1$. Подставим эти равенства в уравнение для процесса 3-4:

$T_3 p_2^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_4 p_1^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} \implies \frac{T_3}{T_4} = (\frac{p_2}{p_1})^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$

Сравнивая полученные выражения для отношений температур, видим, что их правые части равны. Следовательно, равны и левые части:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_4}$

Из этого соотношения выразим искомую температуру $T_4$:

$T_4 = T_3 \cdot \frac{T_1}{T_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$T_4 = 1800 \text{ К} \cdot \frac{300 \text{ К}}{900 \text{ К}} = 1800 \cdot \frac{1}{3} = 600 \text{ К}$

Теперь, зная все четыре температуры, мы можем рассчитать КПД двигателя:

$\eta = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2} = 1 - \frac{600 \text{ К} - 300 \text{ К}}{1800 \text{ К} - 900 \text{ К}} = 1 - \frac{300}{900} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Также можно было найти КПД по формуле $\eta = 1 - \frac{T_1}{T_2}$, которая следует из полученных соотношений: $\eta = 1 - \frac{300}{900} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\eta = \frac{2}{3}$.