Номер 41.2, страница 224 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

41.2. Дизельный двигатель внутреннего сгорания работает по циклу (рис. 3.25), состоящему из двух адиабат (1,2; 3,4), одной изобары (2,3) и одной изохоры (1,4). Рассчитайте КПД такого двигателя, если отношение удельных теплоёмкостей при постоянном давлении и постоянном объёме $\gamma = \frac{c_p}{c_v} = 1,4$, а температуры газа имеют значения $T_1 = 300 K, T_2 = 750 K, T_3 = 1200 K, T_4 = 600 K$.

Рис. 3.25

Дано:

Цикл дизельного двигателя: 1-2 (адиабатное сжатие), 2-3 (изобарное расширение), 3-4 (адиабатное расширение), 4-1 (изохорное охлаждение).

Отношение удельных теплоемкостей (показатель адиабаты) $\gamma = 1,4$

Температура в точке 1, $T_1 = 300 \text{ К}$

Температура в точке 2, $T_2 = 750 \text{ К}$

Температура в точке 3, $T_3 = 1200 \text{ К}$

Температура в точке 4, $T_4 = 600 \text{ К}$

Перевод в систему СИ:

Все предоставленные в условии задачи величины уже находятся в Международной системе единиц (СИ), поэтому перевод не требуется.

Найти:

КПД двигателя $\eta$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется как отношение работы $\text{A}$, совершенной за цикл, к количеству теплоты $Q_{нагр}$, полученной от нагревателя:

$\eta = \frac{A}{Q_{нагр}}$

Согласно первому началу термодинамики для цикла, работа $A = Q_{нагр} - |Q_{хол}|$, где $|Q_{хол}|$ — это абсолютное значение количества теплоты, отданной холодильнику. Таким образом, формулу для КПД можно записать в виде:

$\eta = \frac{Q_{нагр} - |Q_{хол}|}{Q_{нагр}} = 1 - \frac{|Q_{хол}|}{Q_{нагр}}$

В данном цикле тепло подводится на изобарном участке 2-3, а отводится на изохорном участке 4-1. На адиабатных участках 1-2 и 3-4 теплообмена с окружающей средой не происходит ($Q_{12}=0$ и $Q_{34}=0$).

Количество теплоты, полученное газом от нагревателя в ходе изобарного процесса (2-3), равно:

$Q_{нагр} = Q_{23} = n c_p (T_3 - T_2)$

где $\text{n}$ — количество вещества рабочего тела, а $c_p$ — его молярная теплоемкость при постоянном давлении.

Количество теплоты, отданное газом холодильнику в ходе изохорного процесса (4-1), равно:

$|Q_{хол}| = |Q_{41}| = |n c_V (T_1 - T_4)| = n c_V (T_4 - T_1)$

где $c_V$ — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Подставим выражения для $Q_{нагр}$ и $|Q_{хол}|$ в формулу для КПД:

$\eta = 1 - \frac{n c_V (T_4 - T_1)}{n c_p (T_3 - T_2)}$

Сокращаем $\text{n}$ и используем определение показателя адиабаты $\gamma = \frac{c_p}{c_V}$:

$\eta = 1 - \frac{c_V}{c_p} \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2} = 1 - \frac{1}{\gamma} \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}$

Подставим числовые значения из условия:

$\eta = 1 - \frac{1}{1,4} \frac{600 - 300}{1200 - 750} = 1 - \frac{1}{1,4} \frac{300}{450}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{300}{450} = \frac{2}{3}$

$\eta = 1 - \frac{1}{1,4} \cdot \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{1,4 \cdot 3} = 1 - \frac{2}{4,2} = 1 - \frac{20}{42} = 1 - \frac{10}{21}$

$\eta = \frac{21}{21} - \frac{10}{21} = \frac{11}{21}$

Преобразуем результат в десятичную дробь и выразим в процентах:

$\eta = \frac{11}{21} \approx 0,5238$

$\eta \approx 52,4\%$

Ответ: КПД такого двигателя равен $\frac{11}{21}$, что составляет приблизительно $52,4\%$.