Номер 41.4, страница 224 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

41.4*. На рисунке 3.27 приведены диаграммы двух циклов (1, 2, 3, 4, 1 и 5, 6, 7, 4, 5), каждый из которых состоит из двух изохор и двух адиабат. При работе по какому из этих двух циклов двигатель имеет более высокий КПД? Газ одноатомный.

Рис. 3.27

Дано:

Представлен p-V-график двух тепловых циклов: 1-2-3-4-1 и 5-6-7-4-5.

Каждый цикл состоит из двух изохор и двух адиабат.

Рабочее тело: одноатомный газ.

Параметры, взятые из графика:

Объем в состояниях 1 и 2: $V_1 = V_2 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$.

Объем в состояниях 5 и 6: $V_5 = V_6 = 6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$.

Максимальный объем в обоих циклах одинаков и соответствует объему в состояниях 3, 4 и 7: $V_{max} = V_3 = V_4 = V_7$.

Найти:

Какой из двух циклов имеет более высокий КПД ($\eta$).

Решение:

Оба цикла, состоящие из двух изохорных и двух адиабатных процессов, являются циклами Отто. КПД (коэффициент полезного действия) теплового двигателя, работающего по циклу Отто, определяется формулой:

$\eta = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}$

где $\text{r}$ – степень сжатия, а $\gamma$ – показатель адиабаты.

Степень сжатия $\text{r}$ – это отношение максимального объема газа в цикле к минимальному: $r = \frac{V_{max}}{V_{min}}$.

Для одноатомного газа показатель адиабаты $\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{5/2 R}{3/2 R} = \frac{5}{3}$.

Поскольку $\gamma = 5/3 > 1$, то показатель степени $\gamma - 1 = 2/3 > 0$. Это означает, что КПД $\eta$ является монотонно возрастающей функцией от степени сжатия $\text{r}$. Следовательно, чем больше степень сжатия, тем выше КПД цикла.

Найдем и сравним степени сжатия для каждого из циклов, используя данные из графика.

Для первого цикла (1-2-3-4-1):

Минимальный объем (вдоль изохоры 1-2): $V_{min,1} = V_1 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$.

Максимальный объем (вдоль изохоры 3-4): $V_{max,1} = V_4$.

Степень сжатия первого цикла: $r_1 = \frac{V_{max,1}}{V_{min,1}} = \frac{V_4}{V_1}$.

Для второго цикла (5-6-7-4-5):

Минимальный объем (вдоль изохоры 5-6): $V_{min,2} = V_5 = 6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$.

Максимальный объем (вдоль изохоры 7-4): $V_{max,2} = V_4$.

Степень сжатия второго цикла: $r_2 = \frac{V_{max,2}}{V_{min,2}} = \frac{V_4}{V_5}$.

Теперь сравним степени сжатия $r_1$ и $r_2$.

Из данных графика мы видим, что $V_1 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$, а $V_5 = 6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$.

Очевидно, что $V_1 < V_5$.

Так как максимальный объем $V_4$ в обоих циклах одинаков, а $V_1 < V_5$, то знаменатель в выражении для $r_1$ меньше, чем в выражении для $r_2$. Это значит, что дробь для $r_1$ будет больше.

$\frac{V_4}{V_1} > \frac{V_4}{V_5}$

Отсюда следует, что $r_1 > r_2$.

Поскольку КПД цикла Отто тем выше, чем больше степень сжатия, то из неравенства $r_1 > r_2$ следует, что КПД первого цикла больше КПД второго цикла: $\eta_1 > \eta_2$.

Таким образом, двигатель, работающий по циклу 1-2-3-4-1, имеет более высокий КПД.

Ответ: Двигатель имеет более высокий КПД при работе по циклу 1-2-3-4-1.