Номер 2, страница 245 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 2. Определите напряжённость электрического поля, созданного двумя разноимёнными зарядами $|Q_1| = |Q_2| = Q$, находящимися на расстоянии $\text{2l}$ друг от друга (такая система зарядов называется диполем), в точке, равноудалённой от этих зарядов. Расстояние от этой точки до линии, соединяющей заряды, равно $\text{r}$.

Рис. 4.15

Решение. Напряжённость $\vec{E}$ в искомой точке можно найти как векторную сумму напряжённостей электростатических полей, создаваемых обоими зарядами в данной точке (рис. 4.15).

Модули напряжённостей электростатических полей, создаваемых этими зарядами, равны $E_1 = E_2 = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(r^2 + l^2)}$.

Модуль $\text{E}$ суммарной напряжённости в исследуемой точке $E = 2E_1\cos\alpha$, где $\cos\alpha = \frac{l}{\sqrt{r^2 + l^2}}$.

Подставив значения $E_1$ и $\cos\alpha$ в выражение для $\text{E}$, получим

$E = \frac{2Q}{4\pi\varepsilon_0(r^2 + l^2)} \cdot \frac{l}{\sqrt{r^2 + l^2}} = \frac{Ql}{2\pi\varepsilon_0(r^2 + l^2)^{3/2}}$

Анализ полученной формулы показывает, что на расстоянии $r \gg l$ выражение для $\text{E}$ можно записать в виде $E = \frac{Ql}{2\pi\varepsilon_0r^3}$.

Таким образом, мы показали, что напряжённость поля диполя уменьшается с ростом расстояния от него обратно пропорционально кубу расстояния, т. е. быстрее, чем напряжённость поля точечного заряда.

Дано:

Два разноимённых заряда: $|Q_1| = |Q_2| = Q$

Расстояние между зарядами: $ ext{2l}$

Расстояние от точки наблюдения до линии, соединяющей заряды: $\text{r}$

Система находится в вакууме (электрическая постоянная $\epsilon_0$)

Найти:

Напряжённость электрического поля $\text{E}$ в точке, равноудалённой от зарядов.

Решение:

Напряжённость результирующего электрического поля $\vec{E}$ в искомой точке находится по принципу суперпозиции полей. Она является векторной суммой напряжённостей полей $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$, создаваемых зарядами $Q_1$ и $Q_2$ соответственно:

$\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$

Расстояние от каждого из зарядов до точки, в которой определяется напряжённость, одинаково и равно $\text{R}$. Из геометрии, представленной на рисунке 4.15, по теореме Пифагора это расстояние можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами $\text{r}$ и $\text{l}$:

$R = \sqrt{r^2 + l^2}$

Так как величины зарядов и расстояния до точки одинаковы, модули напряжённостей полей, создаваемых каждым зарядом, равны:

$E_1 = E_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R^2} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0(r^2 + l^2)}$

Как видно из рисунка, векторы $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ направлены под одинаковым углом $\alpha$ к горизонтальной оси. При векторном сложении их вертикальные составляющие взаимно уничтожаются, так как они равны по модулю и противоположны по направлению. Результирующий вектор $\vec{E}$ направлен горизонтально и его модуль равен сумме горизонтальных проекций векторов $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$:

$E = E_1 \cos\alpha + E_2 \cos\alpha = 2E_1 \cos\alpha$

Из того же прямоугольного треугольника найдём косинус угла $\alpha$ как отношение прилежащего катета $\text{l}$ к гипотенузе $\text{R}$:

$\cos\alpha = \frac{l}{R} = \frac{l}{\sqrt{r^2 + l^2}}$

Теперь подставим выражения для $E_1$ и $\cos\alpha$ в формулу для результирующей напряжённости $\text{E}$:

$E = 2 \cdot \frac{Q}{4\pi\epsilon_0(r^2 + l^2)} \cdot \frac{l}{\sqrt{r^2 + l^2}}$

Объединяя знаменатели, учитывая, что $\sqrt{r^2 + l^2} = (r^2 + l^2)^{1/2}$, получаем:

$E = \frac{2Ql}{4\pi\epsilon_0(r^2 + l^2)^{3/2}} = \frac{Ql}{2\pi\epsilon_0(r^2 + l^2)^{3/2}}$

Это точная формула для напряжённости поля диполя в данной точке.

Если расстояние до диполя значительно больше его плеча ($r \gg l$), то в знаменателе можно пренебречь слагаемым $l^2$ по сравнению с $r^2$. Тогда $r^2 + l^2 \approx r^2$. Выражение для напряжённости упрощается:

$E \approx \frac{Ql}{2\pi\epsilon_0(r^2)^{3/2}} = \frac{Ql}{2\pi\epsilon_0 r^3}$

Таким образом, на больших расстояниях напряжённость поля диполя убывает обратно пропорционально кубу расстояния, то есть значительно быстрее, чем напряжённость поля точечного заряда, которая убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.

Ответ: $E = \frac{Ql}{2\pi\epsilon_0(r^2 + l^2)^{3/2}}$