Номер 46.4, страница 245 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

46.4. Используя закон Кулона, докажите, что на заряд, помещённый внутрь равномерно заряженной сферы, не действуют электрические силы.

46.4. Дано:

Равномерно заряженная сферическая оболочка (сфера).

Пробный заряд $\text{q}$, помещенный в произвольную точку внутри сферы.

Найти:

Доказать, что результирующая электрическая сила $\vec{F}$, действующая на заряд $\text{q}$, равна нулю ($\vec{F}=0$).

Решение:

Рассмотрим тонкую сферическую оболочку радиусом $\text{R}$, которая заряжена равномерно с поверхностной плотностью заряда $\sigma$. Поместим внутрь этой сферы в произвольную точку $\text{P}$ пробный точечный заряд $\text{q}$.

Согласно принципу суперпозиции, результирующая сила, действующая на заряд $\text{q}$, равна векторной сумме сил, создаваемых всеми элементарными зарядами $\text{dQ}$, из которых состоит сфера. Мы докажем, что эта сумма равна нулю, используя закон Кулона.

Проведём через точку $\text{P}$ узкий двойной конус с малым телесным углом $d\Omega$ и вершиной в точке $\text{P}$. Этот конус вырезает на поверхности сферы два малых участка (площадки) с площадями $dS_1$ и $dS_2$.

Пусть расстояния от точки $\text{P}$ до этих площадок равны $s_1$ и $s_2$ соответственно. Заряды на этих площадках равны $dQ_1 = \sigma dS_1$ и $dQ_2 = \sigma dS_2$.

Согласно закону Кулона, эти элементарные заряды действуют на заряд $\text{q}$ с силами $d\vec{F}_1$ и $d\vec{F}_2$. Силы направлены вдоль оси конуса в противоположные стороны. Их модули равны:

$dF_1 = k \frac{|q \cdot dQ_1|}{s_1^2} = k |q| \sigma \frac{dS_1}{s_1^2}$

$dF_2 = k \frac{|q \cdot dQ_2|}{s_2^2} = k |q| \sigma \frac{dS_2}{s_2^2}$

Для того чтобы доказать, что $\vec{dF_1} + \vec{dF_2} = 0$, необходимо показать, что модули сил равны: $dF_1 = dF_2$.

Площадь площадки $\text{dS}$, наблюдаемой под телесным углом $d\Omega$ с расстояния $\text{s}$, связана с ним соотношением $dS = \frac{s^2 d\Omega}{\cos \alpha}$, где $\alpha$ — угол между нормалью к поверхности в данной точке и линией, соединяющей площадку с точкой наблюдения $\text{P}$.

Из геометрии сферы следует, что для любой хорды, проходящей через точку $\text{P}$, углы между хордой и радиусами, проведёнными к концам хорды, равны. Это означает, что угол $\alpha$ будет одинаковым для обеих площадок $dS_1$ и $dS_2$.

Таким образом, для обеих площадок можно записать:

$dS_1 = \frac{s_1^2 d\Omega}{\cos \alpha}$ и $dS_2 = \frac{s_2^2 d\Omega}{\cos \alpha}$.

Из этих соотношений следует, что $\frac{dS_1}{s_1^2} = \frac{d\Omega}{\cos \alpha}$ и $\frac{dS_2}{s_2^2} = \frac{d\Omega}{\cos \alpha}$, а значит:

$\frac{dS_1}{s_1^2} = \frac{dS_2}{s_2^2}$

Теперь сравним модули сил:

$dF_1 = k |q| \sigma \left(\frac{dS_1}{s_1^2}\right)$ и $dF_2 = k |q| \sigma \left(\frac{dS_2}{s_2^2}\right)$

Поскольку правые части равны, то $dF_1 = dF_2$.

Так как векторы сил $\vec{dF_1}$ и $\vec{dF_2}$ равны по модулю и противоположны по направлению, их сумма равна нулю: $\vec{dF_1} + \vec{dF_2} = 0$.

Всю поверхность сферы можно полностью разбить на такие пары противоположных площадок. Так как сила, действующая со стороны каждой такой пары, равна нулю, то и результирующая сила, действующая на заряд $\text{q}$ со стороны всей сферы, также равна нулю.

Ответ: Доказано, что на заряд, помещённый внутрь равномерно заряженной сферы, не действуют электрические силы. Это следует из того, что для любой пары элементарных участков сферы, расположенных на одной прямой, проходящей через заряд, силы их кулоновского взаимодействия с этим зарядом равны по модулю и противоположны по направлению, то есть взаимно компенсируются. Результирующая сила равна нулю.