Номер 2, страница 250 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 2. Используя теорему Гаусса, определите зависимость напряжённости электростатического поля равномерно заряженной сферической поверхности радиусом R от расстояния r до центра сферы. Заряд на сфере равен q.

Решение. Линии напряжённости электрического поля, создаваемого сферой, расходятся радиально. Окружим заряженную сферу сферической поверхностью радиусом r > R (рис. 4.22). Поток вектора напряжённости через сферическую поверхность равен:

$\Phi = 4\pi r^2 E.$

На основании теоремы Гаусса получим

$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.$

Рис. 4.22

Анализ этой формулы показывает, что электростатическое поле вне равномерно заряженной сферы не отличается от поля точечного заряда, если заряд сферы поместить в её центре.

Можно доказать, что напряжённость электрического поля в любой точке внутри равномерно заряженной сферы равна нулю.

Дано:

Сферическая поверхность радиусом $\text{R}$ с равномерно распределенным по ней зарядом $\text{q}$.

Найти:

Зависимость напряжённости электростатического поля $\text{E}$ от расстояния $\text{r}$ до центра сферы, $E(r)$.

Решение:

Для решения задачи используется теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме. Она утверждает, что поток вектора напряжённости $\vec{E}$ через любую замкнутую поверхность $\text{S}$ (называемую гауссовой поверхностью) пропорционален полному электрическому заряду $Q_{вн}$, находящемуся внутри этой поверхности:

$$ \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0} $$

где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

В силу сферической симметрии задачи, вектор напряжённости $\vec{E}$ в любой точке направлен вдоль радиуса, а его модуль $\text{E}$ зависит только от расстояния $\text{r}$ до центра сферы. Поэтому в качестве гауссовой поверхности удобно выбрать сферу радиусом $\text{r}$, концентрическую с заряженной сферой. Для такой поверхности, в силу симметрии, поток вектора напряжённости равен произведению модуля напряжённости $\text{E}$ на площадь сферы $4\pi r^2$:

$$ \Phi_E = E \cdot 4\pi r^2 $$

Таким образом, теорема Гаусса принимает вид:

$$ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0} $$

Рассмотрим зависимость $E(r)$ для двух областей пространства.

1. Поле вне сферы ($r \ge R$)

Рассмотрим точку, находящуюся на расстоянии $\text{r}$ от центра, где $r \ge R$. Гауссова поверхность (сфера радиусом $\text{r}$) окружает всю заряженную сферическую поверхность. Следовательно, заряд внутри гауссовой поверхности $Q_{вн}$ равен полному заряду сферы $\text{q}$.

Подставим это в уравнение теоремы Гаусса:

$$ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} $$

Выражая отсюда $\text{E}$, получаем напряжённость поля вне сферы:

$$ E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} $$

Этот результат совпадает с выражением для напряжённости поля точечного заряда $\text{q}$, расположенного в центре сферы. На самой поверхности сферы ($r=R$), напряженность равна $E(R) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$.

Ответ: При $r \ge R$ напряжённость поля равна $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$.

2. Поле внутри сферы ($r < R$)

Рассмотрим точку, находящуюся на расстоянии $\text{r}$ от центра, где $r < R$. Гауссова поверхность (сфера радиусом $\text{r}$) полностью находится внутри заряженной сферической поверхности.

Так как весь заряд $\text{q}$ распределён по поверхности радиусом $\text{R}$, внутри гауссовой сферы радиусом $r < R$ зарядов нет. Таким образом, $Q_{вн} = 0$.

Теорема Гаусса для этого случая выглядит так:

$$ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0 $$

Поскольку $4\pi r^2 \ne 0$, из этого уравнения следует, что напряжённость поля в любой точке внутри равномерно заряженной сферической поверхности равна нулю:

$$ E(r) = 0 $$

Ответ: При $r < R$ напряжённость поля равна $E = 0$.

Итого, искомая зависимость напряжённости поля от расстояния до центра сферы может быть записана в виде:

$$ E(r) = \begin{cases} 0, & \text{если } r < R \\ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2}, & \text{если } r \ge R \end{cases} $$