Номер 3, страница 253 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

3. Докажите, что однородное электрическое поле является консервативным.

3. Решение

По определению, силовое поле является консервативным (или потенциальным), если работа, совершаемая силами этого поля при перемещении частицы (в данном случае, электрического заряда) по любому замкнутому контуру, равна нулю. Докажем, что это условие выполняется для однородного электрического поля.

1. Определение однородного поля. Однородное электрическое поле — это такое поле, в каждой точке которого вектор напряженности $\vec{E}$ постоянен как по величине, так и по направлению. То есть, $\vec{E} = \text{const}$.

2. Сила и работа в электрическом поле. Сила, действующая на пробный заряд $\text{q}$, помещенный в электрическое поле с напряженностью $\vec{E}$, определяется выражением $\vec{F} = q\vec{E}$. В однородном поле эта сила также постоянна.

3. Вычисление работы по замкнутому контуру. Работа $\text{A}$, совершаемая силами поля при перемещении заряда $\text{q}$ по произвольному замкнутому контуру (траектории) $\text{L}$, вычисляется с помощью криволинейного интеграла:

$A = \oint_L \vec{F} \cdot d\vec{r}$

где $d\vec{r}$ — вектор элементарного перемещения вдоль контура.

Подставим выражение для силы $\vec{F}$:

$A = \oint_L (q\vec{E}) \cdot d\vec{r}$

Поскольку величины $\text{q}$ (заряд) и $\vec{E}$ (напряженность однородного поля) являются постоянными, их можно вынести за знак интеграла:

$A = q\vec{E} \cdot \oint_L d\vec{r}$

4. Анализ интеграла перемещения. Интеграл $\oint_L d\vec{r}$ представляет собой вектор, равный сумме всех элементарных векторов перемещения $d\vec{r}$ вдоль всего замкнутого контура. Геометрически эта сумма представляет собой вектор, проведенный из начальной точки пути в конечную. Так как контур замкнут, его начальная и конечная точки совпадают. Следовательно, результирующее перемещение равно нулевому вектору:

$\oint_L d\vec{r} = \vec{0}$

5. Итоговая работа. Подставим полученный результат в выражение для работы:

$A = q\vec{E} \cdot \vec{0} = 0$

Таким образом, работа сил однородного электрического поля при перемещении заряда по любому замкнутому контуру всегда равна нулю. Это доказывает, что однородное электрическое поле является консервативным.

Ответ: Так как работа, совершаемая силами однородного электрического поля при перемещении заряда по любому замкнутому контуру, равна нулю, то по определению это поле является консервативным. Что и требовалось доказать.