Задача, страница 254 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА. Точечный заряд $q_1 = 4 \text{ нКл}$ находится в поле шара, несущего заряд $q_2 = 10 \text{ нКл}$, на расстоянии $r_1 = 50 \text{ см}$ от поверхности шара. Определите работу, которую нужно совершить, чтобы приблизить точечный заряд к шару на расстояние $r_2 = 25 \text{ см}$ от его поверхности.

Решение. Работа силы по перемещению заряда в поле шара зависит от начальной и конечной точек траектории:

$A_{12} = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r_1} - \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r_2}=$

$= \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r_1r_2}(r_2 - r_1) \approx -0,7 \text{ мкДж}$

Знак минус указывает на то, что электростатическая сила препятствует перемещению заряда.

Дано:

Точечный заряд: $q_1 = 4 \text{ нКл} = 4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
Заряд шара: $q_2 = 10 \text{ нКл} = 10 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
Начальное расстояние: $r_1 = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$
Конечное расстояние: $r_2 = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$
Коэффициент в законе Кулона: $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

Работу $\text{A}$, которую нужно совершить для перемещения заряда.

Решение:

Вопрос "определите работу, которую нужно совершить" подразумевает нахождение работы внешней силы по перемещению заряда. Эта работа равна изменению потенциальной энергии системы зарядов.

$A = \Delta W_p = W_{p2} - W_{p1}$

Согласно теореме о сфере, электростатическое поле равномерно заряженного шара на расстоянии, превышающем его радиус, эквивалентно полю точечного заряда той же величины, помещенного в центр шара. В условии задачи даны расстояния от поверхности шара. Поскольку радиус шара не указан, мы будем считать, что расстояния $r_1$ и $r_2$ даны от центра шара (или что размерами шара можно пренебречь, считая его точечным зарядом). Это является стандартным допущением при решении подобных задач.

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов $q_1$ и $q_2$, находящихся на расстоянии $\text{r}$ друг от друга, вычисляется по формуле:

$W_p = k \frac{q_1 q_2}{r}$

Таким образом, начальная и конечная потенциальные энергии системы равны:

$W_{p1} = k \frac{q_1 q_2}{r_1}$

$W_{p2} = k \frac{q_1 q_2}{r_2}$

Работа внешней силы по перемещению заряда из точки 1 в точку 2:

$A = W_{p2} - W_{p1} = k \frac{q_1 q_2}{r_2} - k \frac{q_1 q_2}{r_1} = k q_1 q_2 \left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)$

Подставим числовые значения из условия, переведенные в систему СИ:

$A = 9 \cdot 10^9 \cdot (4 \cdot 10^{-9}) \cdot (10 \cdot 10^{-9}) \cdot \left(\frac{1}{0.25} - \frac{1}{0.5}\right)$

$A = 360 \cdot 10^{-9} \cdot (4 - 2)$

$A = 360 \cdot 10^{-9} \cdot 2 = 720 \cdot 10^{-9} \text{ Дж}$

Переведем джоули в микроджоули:

$A = 720 \cdot 10^{-9} \text{ Дж} = 0.72 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} = 0.72 \text{ мкДж}$

Работа получилась положительной. Это означает, что внешняя сила совершает работу против сил электростатического отталкивания, так как оба заряда одноименные (положительные).

Примечание: В решении, приведенном на изображении, вычисляется работа электростатической силы $A_{12}$, которая равна $A_{12} = -A = -0.72 \text{ мкДж}$. Округление до $-0.7 \text{ мкДж}$ в примере является приблизительным.

Ответ: $A = 0.72 \text{ мкДж}$.