Номер 4, страница 254 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

4. Чему равна работа электрического поля точечного заряда при перемещении пробного заряда из одной точки поля в другую?

4. Работа, совершаемая силами электростатического поля точечного заряда $\text{Q}$ при перемещении пробного заряда $\text{q}$ из точки 1 в точку 2, не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением заряда. Электростатическое поле является потенциальным (консервативным), и работа сил такого поля равна изменению потенциальной энергии пробного заряда, взятому с противоположным знаком:

$A_{1 \to 2} = - \Delta U = U_1 - U_2$

где $U_1$ и $U_2$ — потенциальная энергия пробного заряда $\text{q}$ в начальной (точка 1) и конечной (точка 2) точках соответственно.

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов $\text{Q}$ и $\text{q}$, находящихся на расстоянии $\text{r}$ друг от друга, определяется формулой:

$U = k \frac{Qq}{r}$

где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона, а $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

Пусть начальное расстояние от заряда $\text{Q}$ до заряда $\text{q}$ равно $r_1$, а конечное — $r_2$. Тогда работа электрического поля будет равна:

$A_{1 \to 2} = k \frac{Qq}{r_1} - k \frac{Qq}{r_2} = kQq \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$

Эту же работу можно выразить через разность потенциалов. Потенциал $\varphi$, создаваемый точечным зарядом $\text{Q}$ на расстоянии $\text{r}$, равен $\varphi = k \frac{Q}{r}$. Работа поля по перемещению заряда $\text{q}$ из точки 1 с потенциалом $\varphi_1$ в точку 2 с потенциалом $\varphi_2$ равна:

$A_{1 \to 2} = q(\varphi_1 - \varphi_2) = q(U_1/q - U_2/q) = U_1 - U_2$

Ответ: Работа электрического поля точечного заряда $\text{Q}$ при перемещении пробного заряда $\text{q}$ из точки 1 (на расстоянии $r_1$ от $\text{Q}$) в точку 2 (на расстоянии $r_2$ от $\text{Q}$) равна разности потенциальных энергий в начальной и конечной точках и вычисляется по формуле: $A_{1 \to 2} = kQq \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$. Эта работа не зависит от траектории перемещения заряда, а только от его начального и конечного положения.

5. Доказательство того, что электростатическое поле является консервативным (потенциальным).

По определению, силовое поле является консервативным (потенциальным), если работа сил этого поля при перемещении частицы (в данном случае, заряда) по любому замкнутому контуру равна нулю. Эквивалентное определение гласит, что работа по перемещению частицы между двумя точками не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями.

Используем результат, полученный в ответе на вопрос 4. Работа сил электростатического поля точечного заряда $\text{Q}$ при перемещении пробного заряда $\text{q}$ из точки 1 в точку 2 равна:

$A_{1 \to 2} = kQq \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$

Эта формула показывает, что работа зависит только от начального ($r_1$) и конечного ($r_2$) расстояний до заряда-источника $\text{Q}$, но не от формы траектории между точками 1 и 2. Это само по себе является доказательством консервативности поля.

Чтобы формально доказать равенство нулю работы по замкнутому контуру, рассмотрим перемещение заряда по замкнутой траектории, то есть когда начальная и конечная точки совпадают. Пусть заряд перемещается из точки 1 в эту же точку 1. В этом случае $r_1 = r_2$. Подставим это в формулу для работы:

$A_{1 \to 1} = kQq \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_1} \right) = 0$

Поскольку работа при перемещении заряда по любому замкнутому контуру равна нулю, это доказывает, что электростатическое поле точечного заряда является консервативным.

Данный вывод можно обобщить на электростатическое поле, созданное любой системой неподвижных зарядов. Согласно принципу суперпозиции, напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Следовательно, и работа сил такого поля будет равна алгебраической сумме работ сил каждого поля, а так как работа для каждого из них по замкнутому контуру равна нулю, то и суммарная работа будет равна нулю.

Ответ: Работа сил электростатического поля по перемещению заряда по любому замкнутому контуру равна нулю ($A_{замкн.} = 0$), так как она зависит только от начальной и конечной точек, которые для замкнутого контура совпадают. Это по определению означает, что электростатическое поле является консервативным (потенциальным).