Номер 2, страница 253 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

2. Чему равна работа электрического поля при перемещении пробного заряда по замкнутой траектории?

1. Какие поля называются консервативными (потенциальными)?

Консервативными (или потенциальными) называются силовые поля, работа которых при перемещении материальной точки (или заряда) из одного положения в другое не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением этой точки.

Эквивалентное определение: поле является консервативным, если работа сил поля при перемещении точки по любой замкнутой траектории равна нулю. Математически это выражается как: $A_{замкн} = \oint_L \vec{F} \cdot d\vec{l} = 0$ где $\vec{F}$ — сила поля, а $d\vec{l}$ — элемент перемещения.

Название «потенциальные» связано с тем, что для таких полей можно ввести скалярную функцию, называемую потенциальной энергией $\text{U}$. Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии: $A_{1 \to 2} = U_1 - U_2 = -\Delta U$ Сила в таком поле может быть выражена как градиент потенциальной энергии со знаком минус: $\vec{F} = -\nabla U$. Для электрического поля напряженность $\vec{E}$ связана с электрическим потенциалом $\phi$ соотношением $\vec{E} = -\nabla \phi$.

Примерами консервативных полей являются гравитационное поле и электростатическое поле.

Ответ: Консервативные (потенциальные) поля — это поля, работа сил которых при перемещении объекта по замкнутой траектории равна нулю, или, что эквивалентно, работа не зависит от пути, а только от начальной и конечной точек.

2. Чему равна работа электрического поля при перемещении пробного заряда по замкнутой траектории?

Электростатическое поле (поле, создаваемое неподвижными зарядами) является консервативным (потенциальным) полем.

Основное свойство консервативного поля заключается в том, что работа, совершаемая силами поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории, равна нулю.

Это можно показать через понятие разности потенциалов. Работа $\text{A}$ электрического поля по перемещению заряда $\text{q}$ из точки 1 с потенциалом $\phi_1$ в точку 2 с потенциалом $\phi_2$ равна: $A_{1 \to 2} = q(\phi_1 - \phi_2)$

Для замкнутой траектории начальная точка 1 и конечная точка 2 совпадают. Следовательно, их потенциалы равны: $\phi_1 = \phi_2$. Тогда работа по замкнутой траектории будет: $A_{замкн} = q(\phi_1 - \phi_1) = 0$

Ответ: Работа электрического поля при перемещении пробного заряда по замкнутой траектории равна нулю.

3. Докажите, что однородное электрическое поле является консервативным.

Для доказательства воспользуемся определением консервативного поля: поле является консервативным, если работа его сил по перемещению заряда по любому замкнутому контуру равна нулю.

Решение

Однородное электрическое поле — это поле, в каждой точке которого вектор напряженности $\vec{E}$ одинаков по модулю и направлению. То есть, $\vec{E} = \text{const}$.

Сила, действующая на пробный заряд $\text{q}$ в этом поле, равна $\vec{F} = q\vec{E}$. Так как $\vec{E}$ постоянно, то и сила $\vec{F}$ также постоянна.

Работа $\text{A}$ сил поля по перемещению заряда $\text{q}$ вдоль некоторой траектории $\text{L}$ определяется как криволинейный интеграл: $A = \int_L \vec{F} \cdot d\vec{l} = \int_L q\vec{E} \cdot d\vec{l}$ где $d\vec{l}$ — вектор элементарного перемещения.

Рассмотрим работу на произвольной замкнутой траектории. Для этого нужно вычислить интеграл по замкнутому контуру: $A_{замкн} = \oint_L q\vec{E} \cdot d\vec{l}$

Поскольку заряд $\text{q}$ (скаляр) и вектор напряженности $\vec{E}$ (в однородном поле) являются постоянными величинами, их можно вынести за знак интеграла: $A_{замкн} = q\vec{E} \cdot \oint_L d\vec{l}$

Интеграл $\oint_L d\vec{l}$ представляет собой векторную сумму всех элементарных перемещений $d\vec{l}$ вдоль замкнутого контура. Эта сумма равна вектору перемещения из начальной точки контура в конечную. Так как контур замкнут, начальная и конечная точки совпадают, и общее перемещение равно нулевому вектору: $\oint_L d\vec{l} = \vec{0}$

Подставляя этот результат в формулу для работы, получаем: $A_{замкн} = q\vec{E} \cdot \vec{0} = 0$

Так как работа сил однородного электрического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю, то по определению это поле является консервативным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что работа сил однородного электрического поля по замкнутому контуру равна нулю, следовательно, оно является консервативным.