Номер 1, страница 249 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 1. Используя теорему Гаусса, определите зависимость напряжённости электрического поля равномерно заряженной тонкой проволоки бесконечной длины от расстояния $\text{r}$ до оси проволоки.

Решение.

Выделим участок проволоки конечной длины $\text{l}$. Если линейная плотность заряда на проволоке $\tau = q/l$, то заряд выделенного участка $q = \tau l$.

Из соображений симметрии электрическое поле проволоки изобразим линиями напряжённости, расходящимися перпендикулярно поверхности проволоки (рис. 4.21).

Окружим этот участок цилиндрической поверхностью радиусом $\text{r}$ таким образом, чтобы ось цилиндра совпадала с осью проволоки (см. рис. 4.21). При этом весь поток вектора напряжённости будет выходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой $S = 2\pi rl$, так как поток через оба основания цилиндра равен нулю. В этом случае из выражений (47.2) и (47.4) следует: $\Phi = E2\pi rl = \frac{\tau l}{\varepsilon_0}$, откуда

Рис. 4.21

$E = \frac{\tau}{2\pi\varepsilon_0 r}$

Анализ этой формулы показывает, что напряжённость электрического поля тонкой, равномерно заряженной, бесконечно длинной и прямой проволоки обратно пропорциональна расстоянию от неё.

Дано:

Бесконечно длинная тонкая проволока.

Линейная плотность заряда проволоки: $\tau$ (постоянная величина).

Найти:

Зависимость напряжённости электрического поля $\text{E}$ от расстояния $\text{r}$ до оси проволоки, то есть $E(r)$.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Гаусса для электрического поля. Теорема гласит, что поток вектора напряжённости электрического поля $\vec{E}$ через любую замкнутую поверхность $\text{S}$ равен полному заряду $Q_{внутр}$, заключённому внутри этой поверхности, делённому на электрическую постоянную $\varepsilon_0$:

$\Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{внутр}}{\varepsilon_0}$

В силу симметрии задачи (бесконечная прямая заряженная проволока), электрическое поле в любой точке должно быть направлено перпендикулярно оси проволоки (радиально). Величина напряжённости поля $\text{E}$ будет одинаковой во всех точках, находящихся на одном и том же расстоянии $\text{r}$ от оси.

В качестве замкнутой гауссовой поверхности выберем коаксиальный с проволокой цилиндр радиусом $\text{r}$ и высотой $\text{l}$. Эта поверхность состоит из двух плоских оснований и боковой цилиндрической поверхности.

Рассчитаем поток $\Phi_E$ через эту поверхность, разбив его на две части: поток через основания и поток через боковую поверхность.

1. Поток через основания цилиндра. Вектор нормали $d\vec{S}$ к поверхности оснований направлен параллельно оси проволоки. Вектор напряжённости $\vec{E}$ направлен радиально, то есть перпендикулярно оси. Таким образом, векторы $\vec{E}$ и $d\vec{S}$ взаимно перпендикулярны. Их скалярное произведение $\vec{E} \cdot d\vec{S} = 0$. Следовательно, поток через оба основания равен нулю.

2. Поток через боковую поверхность цилиндра. На боковой поверхности вектор нормали $d\vec{S}$ в каждой точке направлен радиально, то есть параллельно вектору $\vec{E}$. Поэтому угол между ними равен $0^\circ$. Кроме того, модуль напряжённости $\text{E}$ постоянен на всей боковой поверхности. Тогда поток через боковую поверхность равен:

$\Phi_{бок} = \oint_{бок} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \oint_{бок} E \, dS \cos(0^\circ) = E \oint_{бок} dS = E \cdot S_{бок}$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi r l$.

Таким образом, полный поток через всю гауссову поверхность равен $\Phi_E = \Phi_{бок} = E \cdot 2\pi r l$.

Теперь найдём заряд $Q_{внутр}$, заключённый внутри нашего цилиндра. Проволока имеет линейную плотность заряда $\tau$. Длина участка проволоки, попавшего внутрь цилиндра, равна $\text{l}$. Следовательно, заряд внутри цилиндра равен:

$Q_{внутр} = \tau \cdot l$

Приравниваем два выражения для потока согласно теореме Гаусса:

$E \cdot 2\pi r l = \frac{\tau l}{\varepsilon_0}$

Сокращая высоту цилиндра $\text{l}$ в обеих частях уравнения, получаем искомую зависимость напряжённости поля от расстояния:

$E = \frac{\tau}{2\pi \varepsilon_0 r}$

Из полученной формулы видно, что напряжённость электрического поля бесконечно длинной заряженной проволоки обратно пропорциональна расстоянию до неё.

Ответ: Зависимость напряжённости электрического поля равномерно заряженной тонкой проволоки бесконечной длины от расстояния $\text{r}$ до оси проволоки определяется формулой $E(r) = \frac{\tau}{2\pi \varepsilon_0 r}$, где $\tau$ — линейная плотность заряда, а $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.