Номер 47.2, страница 250 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

47.2. Напряжённость электрического поля у поверхности бесконечно длинного цилиндрического проводника радиусом 1 см равна 10 Н/Кл. Какой заряд находится на участке провода длиной 1 м? Чему равна напряжённость электрического поля на расстоянии 40 см от оси цилиндра?

Дано:

Радиус цилиндра, $R = 1 \text{ см}$

Напряжённость поля у поверхности, $E_R = 10 \text{ Н/Кл}$

Длина участка провода, $l = 1 \text{ м}$

Расстояние от оси цилиндра, $r_2 = 40 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$r_2 = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

$\text{q}$ - ?

$E_2$ - ?

Решение:

Напряжённость электрического поля, создаваемого бесконечно длинным заряженным цилиндром, на расстоянии $\text{r}$ от его оси определяется по формуле, следующей из теоремы Гаусса:

$E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$

где $\lambda$ — линейная плотность заряда (заряд на единицу длины), а $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

Эту же формулу можно выразить через коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$:

$E = \frac{2k\lambda}{r}$

Решим задачу по частям, в соответствии с вопросами.

Какой заряд находится на участке провода длиной 1 м?

Для нахождения заряда $\text{q}$ нам необходимо сначала определить линейную плотность заряда $\lambda$. Мы можем сделать это, используя известные данные о напряжённости поля на поверхности проводника, где расстояние от оси равно радиусу $\text{R}$.

$E_R = \frac{2k\lambda}{R}$

Выразим отсюда линейную плотность заряда $\lambda$:

$\lambda = \frac{E_R R}{2k}$

Подставим числовые значения в СИ:

$\lambda = \frac{10 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} \cdot 0.01 \text{ м}}{2 \cdot 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}} = \frac{0.1}{18 \cdot 10^9} \frac{\text{Кл}}{\text{м}} \approx 5.56 \cdot 10^{-12} \frac{\text{Кл}}{\text{м}}$

Теперь найдём заряд $\text{q}$ на участке провода длиной $l = 1 \text{ м}$. Он равен произведению линейной плотности заряда на длину этого участка:

$q = \lambda \cdot l$

$q \approx 5.56 \cdot 10^{-12} \frac{\text{Кл}}{\text{м}} \cdot 1 \text{ м} = 5.56 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}$

Ответ: Заряд на участке провода равен $q \approx 5.56 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}$ (или $5.56 \text{ пКл}$).

Чему равна напряжённость электрического поля на расстоянии 40 см от оси цилиндра?

Для нахождения напряжённости $E_2$ на расстоянии $r_2 = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$ от оси цилиндра, используем ту же основную формулу:

$E_2 = \frac{2k\lambda}{r_2}$

Можно было бы подставить ранее вычисленное значение $\lambda$, но есть более простой и точный способ. Составим отношение напряжённости $E_2$ на расстоянии $r_2$ к напряжённости $E_R$ на поверхности цилиндра (на расстоянии $\text{R}$):

$\frac{E_2}{E_R} = \frac{\frac{2k\lambda}{r_2}}{\frac{2k\lambda}{R}} = \frac{R}{r_2}$

Из этого соотношения выразим искомую напряжённость $E_2$:

$E_2 = E_R \frac{R}{r_2}$

Этот метод показывает, что напряжённость поля убывает обратно пропорционально расстоянию от оси.

Подставим числовые значения:

$E_2 = 10 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} \cdot \frac{0.01 \text{ м}}{0.4 \text{ м}} = 10 \cdot \frac{1}{40} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 0.25 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

Ответ: Напряжённость электрического поля на расстоянии 40 см от оси цилиндра равна $0.25 \text{ Н/Кл}$.