Номер 5, страница 254 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

5. Докажите, что электрическое поле точечного заряда является консервативным.

5. Докажите, что электрическое поле точечного заряда является консервативным.

Решение:

Силовое поле называется консервативным (или потенциальным), если работа, совершаемая силами этого поля при перемещении материальной точки (в данном случае, пробного заряда) из одного положения в другое, не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положениями точки. Эквивалентное условие — работа сил поля по любой замкнутой траектории равна нулю.

Рассмотрим электростатическое поле, созданное неподвижным точечным зарядом $\text{Q}$. Поместим в это поле пробный заряд $q_0$. Согласно закону Кулона, на заряд $q_0$ со стороны заряда $\text{Q}$ действует сила:

$\vec{F} = k \frac{Q q_0}{r^2} \hat{r}$

где $\text{k}$ — электростатическая постоянная ($k = 1/(4\pi\epsilon_0)$), $\text{r}$ — расстояние между зарядами, а $\hat{r}$ — единичный вектор, направленный от заряда $\text{Q}$ к заряду $q_0$.

Вычислим работу $A_{1 \to 2}$, которую совершает эта сила при перемещении пробного заряда $q_0$ из произвольной точки 1 в точку 2. Работа определяется как криволинейный интеграл:

$A_{1 \to 2} = \int_{1}^{2} \vec{F} \cdot d\vec{l}$

где $d\vec{l}$ — вектор элементарного перемещения. Скалярное произведение $\vec{F} \cdot d\vec{l}$ можно расписать как $F \cdot dl \cdot \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между вектором силы $\vec{F}$ и вектором перемещения $d\vec{l}$. Так как сила $\vec{F}$ направлена по радиус-вектору $\vec{r}$, то её скалярное произведение с $d\vec{l}$ будет зависеть только от проекции перемещения на радиальное направление. Эта проекция равна изменению расстояния $\text{dr}$.

$\vec{F} \cdot d\vec{l} = (k \frac{Q q_0}{r^2} \hat{r}) \cdot d\vec{l} = k \frac{Q q_0}{r^2} dr$

Тогда работа при перемещении из точки 1 (на расстоянии $r_1$ от $\text{Q}$) в точку 2 (на расстоянии $r_2$ от $\text{Q}$) равна:

$A_{1 \to 2} = \int_{r_1}^{r_2} k \frac{Q q_0}{r^2} dr = k Q q_0 \int_{r_1}^{r_2} r^{-2} dr = k Q q_0 \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_1}^{r_2} = k Q q_0 \left( -\frac{1}{r_2} - \left(-\frac{1}{r_1}\right) \right) = k Q q_0 \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$

Полученный результат показывает, что работа $A_{1 \to 2}$ зависит только от начального ($r_1$) и конечного ($r_2$) расстояний до источника поля, и не зависит от формы траектории перемещения. Это является прямым доказательством того, что электростатическое поле точечного заряда является консервативным.

Если же траектория замкнутая, то начальная и конечная точки совпадают ($r_1 = r_2$), и работа $A = k Q q_0 \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_1} \right) = 0$, что также подтверждает консервативность поля.

Ответ: Работа сил электростатического поля точечного заряда при перемещении пробного заряда из одной точки в другую зависит только от начального и конечного положений этого заряда и не зависит от траектории движения. Это по определению означает, что поле является консервативным.

6. Чему равна потенциальная энергия

Решение:

По определению, для консервативных сил работа, совершаемая полем, равна изменению потенциальной энергии системы, взятому с противоположным знаком:

$A_{1 \to 2} = -(U_2 - U_1) = U_1 - U_2$

где $U_1$ и $U_2$ — потенциальная энергия системы в начальном и конечном состояниях.

В предыдущем пункте была вычислена работа сил поля заряда $\text{Q}$ при перемещении заряда $q_0$ из точки 1 (на расстоянии $r_1$) в точку 2 (на расстоянии $r_2$):

$A_{1 \to 2} = k \frac{Q q_0}{r_1} - k \frac{Q q_0}{r_2}$

Сравнивая два выражения для работы, получаем:

$U_1 - U_2 = k \frac{Q q_0}{r_1} - k \frac{Q q_0}{r_2}$

Из этого равенства следует, что потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов $\text{Q}$ и $q_0$, находящихся на расстоянии $\text{r}$ друг от друга, может быть определена (с точностью до константы) как:

$U(r) = k \frac{Q q_0}{r}$

Такая форма соответствует общепринятому выбору нулевого уровня потенциальной энергии. Принято считать, что потенциальная энергия взаимодействия зарядов равна нулю, когда они удалены друг от друга на бесконечное расстояние ($r \to \infty$). Подстановка $r \to \infty$ в формулу дает $U(\infty) = 0$, что согласуется с этим выбором.

Таким образом, потенциальная энергия системы, состоящей из двух точечных зарядов $\text{Q}$ и $q_0$, находящихся на расстоянии $\text{r}$ друг от друга, выражается формулой:

$U = k \frac{Q q_0}{r}$

Эта энергия является скалярной величиной. Она положительна, если заряды одноименные (силы отталкивания), и отрицательна, если заряды разноименные (силы притяжения).

Ответ: Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов $\text{Q}$ и $q_0$, находящихся на расстоянии $\text{r}$ друг от друга, равна $U = k \frac{Q q_0}{r}$.