Номер 48.1, страница 254 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

РЕШИТЕ

48.1. Согласно классической модели атома водорода электрон обращается вокруг протона на расстоянии $r = 5,3 \cdot 10^{-11}$ м. Определите кинетическую энергию электрона, его потенциальную и полную энергии. Какой смысл имеет отрицательное значение потенциальной и полной энергий? На бесконечно большом расстоянии между электроном и протоном потенциальная энергия принимается равной нулю.

Дано:

Радиус орбиты электрона, $r = 5,3 \cdot 10^{-11}$ м.

Для расчетов также потребуются фундаментальные физические константы:

Элементарный заряд, $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

Масса электрона, $m_e = 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг.

Электрическая постоянная (коэффициент в законе Кулона), $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл².

Найти:

Кинетическую энергию электрона, $E_k$ — ?

Потенциальную энергию электрона, $E_p$ — ?

Полную энергию электрона, $\text{E}$ — ?

Смысл отрицательного значения $E_p$ и $\text{E}$.

Решение:

Согласно классической модели, электрон вращается вокруг протона по круговой орбите. Движение по окружности обеспечивается силой Кулона, которая играет роль центростремительной силы.

Сила Кулона между протоном (заряд $+e$) и электроном (заряд $-e$) равна: $F_{Кл} = k \frac{|(+e) \cdot (-e)|}{r^2} = k \frac{e^2}{r^2}$

Центростремительная сила, действующая на электрон: $F_{цс} = m_e a_{цс} = \frac{m_e v^2}{r}$

Приравнивая эти две силы, $F_{Кл} = F_{цс}$, получаем: $k \frac{e^2}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r}$

Отсюда можно выразить величину $m_e v^2$: $m_e v^2 = k \frac{e^2}{r}$

Определение кинетической энергии

Кинетическая энергия электрона определяется формулой $E_k = \frac{m_e v^2}{2}$. Подставим в нее выражение для $m_e v^2$, полученное выше: $E_k = \frac{1}{2} \left( k \frac{e^2}{r} \right) = \frac{k e^2}{2r}$

Подставим числовые значения: $E_k = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19})^2}{2 \cdot 5,3 \cdot 10^{-11}} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2,56 \cdot 10^{-38}}{10,6 \cdot 10^{-11}} = \frac{23,04 \cdot 10^{-29}}{10,6 \cdot 10^{-11}} \approx 2,17 \cdot 10^{-18}$ Дж.

Часто энергию в атомной физике выражают в электрон-вольтах (эВ), где $1 \text{ эВ} = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Дж. $E_k = \frac{2,17 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 13,6$ эВ.

Ответ: $E_k = \frac{k e^2}{2r} \approx 2,17 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} \approx 13,6 \text{ эВ}$.

Определение потенциальной энергии

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов $q_1$ и $q_2$ на расстоянии $\text{r}$ друг от друга равна $E_p = k \frac{q_1 q_2}{r}$. Для системы протон-электрон ($q_1 = +e$, $q_2 = -e$): $E_p = k \frac{(+e)(-e)}{r} = -k \frac{e^2}{r}$

Заметим, что $E_p = -2 E_k$.

Подставим числовые значения: $E_p = -\frac{9 \cdot 10^9 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19})^2}{5,3 \cdot 10^{-11}} = -2 \cdot (2,17 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}) = -4,34 \cdot 10^{-18}$ Дж.

В электрон-вольтах: $E_p = \frac{-4,34 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx -27,2$ эВ.

Ответ: $E_p = -k \frac{e^2}{r} \approx -4,34 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} \approx -27,2 \text{ эВ}$.

Определение полной энергии

Полная механическая энергия электрона в атоме равна сумме его кинетической и потенциальной энергий: $E = E_k + E_p = \frac{k e^2}{2r} + \left(-k \frac{e^2}{r}\right) = -\frac{k e^2}{2r}$

Видно, что полная энергия равна кинетической энергии, взятой с обратным знаком: $E = -E_k$.

$E = -2,17 \cdot 10^{-18}$ Дж.

В электрон-вольтах: $E = -13,6$ эВ.

Ответ: $E = -\frac{k e^2}{2r} \approx -2,17 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} \approx -13,6 \text{ эВ}$.

Смысл отрицательного значения потенциальной и полной энергий

По условию, потенциальная энергия принимается равной нулю, когда электрон и протон находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга ($r \to \infty$).

Отрицательное значение потенциальной энергии ($E_p < 0$) означает, что между частицами действуют силы притяжения. Чтобы разорвать связь между ними (разнести их на бесконечное расстояние), необходимо совершить работу против этих сил, то есть сообщить системе энергию. Так как на бесконечности энергия равна нулю, а для её достижения нужно было затратить энергию, то в связанном состоянии на конечном расстоянии $\text{r}$ энергия системы меньше нуля, то есть отрицательна.

Отрицательное значение полной энергии ($E < 0$) является признаком связанного состояния. Это означает, что электрон "захвачен" протоном и не может самопроизвольно покинуть атом. Его кинетической энергии недостаточно, чтобы преодолеть потенциальную "яму", созданную притяжением к протону. Для того чтобы электрон покинул атом (произошла ионизация), ему необходимо сообщить энергию, не меньшую, чем абсолютное значение его полной энергии. Эта энергия называется энергией связи или энергией ионизации. В данном случае она равна $|E| = 13,6$ эВ.

Ответ: Отрицательное значение потенциальной и полной энергий указывает на то, что электрон находится в связанном состоянии с протоном, образуя устойчивую систему (атом). Это означает, что между частицами действуют силы притяжения, и для их разделения необходимо затратить энергию.