Номер 46.5, страница 245 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

46.5. Водяная капля имеет электрический заряд, равный одному элементарному заряду (заряду электрона). Определите массу, радиус капли и число молекул воды в ней, если известно, что действие силы тяжести на каплю уравновешивается действием электрического поля Земли. Напряжённость электрического поля Земли равна 130 Н/Кл, вектор напряжённости направлен к центру Земли.

Дано:

Заряд капли: $q = -e = -1.602 \times 10^{-19}$ Кл

Напряжённость электрического поля Земли: $E = 130$ Н/Кл

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.81$ м/с²

Плотность воды: $\rho \approx 1000$ кг/м³

Молярная масса воды (H₂O): $M = 18 \times 10^{-3}$ кг/моль

Число Авогадро: $N_A = 6.022 \times 10^{23}$ моль⁻¹

Найти:

Массу капли: $m - ?$

Радиус капли: $r - ?$

Число молекул воды в капле: $N - ?$

Решение:

По условию задачи, водяная капля находится в равновесии, так как действие силы тяжести уравновешивается действием электрического поля. Это означает, что сила тяжести $F_т$, направленная вертикально вниз, равна по модулю и противоположна по направлению электрической силе $F_э$.

$F_т = F_э$

Сила тяжести определяется как $F_т = mg$.

Электрическая сила, действующая на заряд в поле, равна $F_э = qE$. Вектор напряженности электрического поля Земли $\text{E}$ направлен к центру Земли (вниз). Чтобы электрическая сила была направлена вверх и уравновешивала силу тяжести, заряд капли $\text{q}$ должен быть отрицательным. По условию, заряд капли равен заряду электрона, то есть $q = -e$. Таким образом, модуль электрической силы равен $F_э = |-e|E = eE$.

Определение массы капли

Приравняем модули сил:

$mg = eE$

Отсюда выразим массу капли $\text{m}$:

$m = \frac{eE}{g}$

Подставим числовые значения:

$m = \frac{1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 130 \text{ Н/Кл}}{9.81 \text{ м/с}^2} \approx 2.12 \times 10^{-18} \text{ кг}$

Ответ: масса капли $m \approx 2.12 \times 10^{-18}$ кг.

Определение радиуса капли

Будем считать, что капля имеет форму шара. Массу шара можно выразить через его плотность $\rho$ и объем $\text{V}$ по формуле $m = \rho V$. Объем шара равен $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Следовательно, $m = \rho \frac{4}{3}\pi r^3$.

Выразим из этой формулы радиус $\text{r}$:

$r^3 = \frac{3m}{4\pi\rho}$

$r = \sqrt[3]{\frac{3m}{4\pi\rho}}$

Подставим найденное значение массы и известные константы:

$r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 2.12 \times 10^{-18} \text{ кг}}{4\pi \cdot 1000 \text{ кг/м}^3}} \approx \sqrt[3]{\frac{6.36 \times 10^{-18}}{12566}} \approx \sqrt[3]{5.06 \times 10^{-22}} \text{ м} \approx 7.97 \times 10^{-8} \text{ м}$

Ответ: радиус капли $r \approx 7.97 \times 10^{-8}$ м (или 79.7 нм).

Определение числа молекул воды в ней

Число молекул $\text{N}$ в капле можно определить, зная ее массу $\text{m}$, молярную массу воды $\text{M}$ и число Авогадро $N_A$.

Число молей вещества $\nu$ в капле: $\nu = \frac{m}{M}$.

Число молекул $\text{N}$ связано с числом молей через число Авогадро: $N = \nu \cdot N_A$.

Объединив формулы, получаем:

$N = \frac{m}{M} N_A$

Подставим значения:

$N = \frac{2.12 \times 10^{-18} \text{ кг}}{18 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}} \cdot 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 1.178 \times 10^{-16} \text{ моль} \cdot 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 7.1 \times 10^7$

Ответ: число молекул воды в капле $N \approx 7.1 \times 10^7$.