Номер 58.3, страница 298 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

58.3. Какой заряд $\text{q}$ пройдёт через ключ при его замыкании (рис. 5.25)?

Рис. 5.25

Дано:

Источник с ЭДС $\text{E}$, ёмкости конденсаторов $C_1$ и $C_2$, сопротивления резисторов $R_1$ и $R_2$.

Найти:

$\text{q}$ - заряд, который пройдёт через ключ при его замыкании.

Решение:

Заряд, который пройдёт через ключ, равен изменению заряда на той части цепи, которую этот ключ подключает. Обозначим узел, к которому подключены нижняя обкладка конденсатора $C_1$, левая обкладка $C_2$ и ключ, как узел A. Заряд $\text{q}$, прошедший через ключ, равен разности зарядов в узле А после и до замыкания ключа: $q = Q_{A,конеч} - Q_{A,началь}$.

1. Начальное состояние (ключ разомкнут).

Спустя длительное время после подключения источника в цепи устанавливается постоянный ток. Конденсаторы в цепи постоянного тока представляют собой разрыв, поэтому ток через ветви с конденсаторами не течёт. Постоянный ток течёт только по цепи, состоящей из источника ЭДС и последовательно соединённых резисторов $R_1$ и $R_2$. Величина этого тока:

$I = \frac{E}{R_1 + R_2}$

Примем потенциал отрицательного полюса источника равным нулю. Тогда потенциал положительного полюса равен $\text{E}$.

Найдём потенциал $U_B$ точки B, находящейся между резисторами $R_1$ и $R_2$. Этот потенциал равен напряжению на резисторе $R_1$:

$U_B = I \cdot R_1 = \frac{E R_1}{R_1 + R_2}$

Узел A (нижняя обкладка $C_1$, левая обкладка $C_2$) является изолированным, так как ключ разомкнут. Если предположить, что до сборки схемы обкладки конденсаторов были не заряжены, то суммарный заряд этого изолированного участка равен нулю.

$Q_{A,началь} = 0$

2. Конечное состояние (ключ замкнут).

После замыкания ключа узел A соединяется с отрицательным полюсом источника, и его потенциал становится равным нулю: $U_A = 0$.

Через некоторое время в цепи снова установится стационарный режим. Ток через резисторы $R_1$ и $R_2$ будет таким же, как и до замыкания ключа, и потенциал точки B не изменится:

$U_B = \frac{E R_1}{R_1 + R_2}$

Теперь найдём заряды на обкладках конденсаторов, подключенных к узлу A.

Напряжение на конденсаторе $C_1$ равно разности потенциалов между его верхней и нижней обкладками: $U_{C1} = E - U_A = E - 0 = E$. Верхняя обкладка имеет положительный заряд, нижняя — отрицательный. Заряд на нижней обкладке $C_1$:

$q_{C1,нижн} = -C_1 U_{C1} = -C_1 E$

Напряжение на конденсаторе $C_2$ равно разности потенциалов между его правой и левой обкладками: $U_{C2} = U_B - U_A = \frac{E R_1}{R_1 + R_2} - 0 = \frac{E R_1}{R_1 + R_2}$. Правая обкладка имеет положительный заряд, левая — отрицательный. Заряд на левой обкладке $C_2$:

$q_{C2,лев} = -C_2 U_{C2} = -C_2 \frac{E R_1}{R_1 + R_2}$

Суммарный заряд узла A в конечном состоянии равен сумме зарядов на подключенных к нему обкладках:

$Q_{A,конеч} = q_{C1,нижн} + q_{C2,лев} = -C_1 E - C_2 \frac{E R_1}{R_1 + R_2}$

3. Расчёт протекшего заряда.

Заряд $\text{q}$, который прошёл через ключ, равен изменению заряда узла A:

$q = Q_{A,конеч} - Q_{A,началь} = \left(-C_1 E - C_2 \frac{E R_1}{R_1 + R_2}\right) - 0$

$q = -E \left(C_1 + \frac{C_2 R_1}{R_1 + R_2}\right)$

Преобразуем выражение:

$q = -E \frac{C_1(R_1 + R_2) + C_2 R_1}{R_1 + R_2} = -E \frac{C_1 R_1 + C_1 R_2 + C_2 R_1}{R_1 + R_2} = -E \frac{R_1(C_1 + C_2) + R_2 C_1}{R_1 + R_2}$

Знак «минус» означает, что от узла A через ключ к отрицательному полюсу источника ушёл положительный заряд (или, что эквивалентно, на узел А пришёл отрицательный заряд — электроны). Величина этого заряда равна $|q|$.

Ответ:

Через ключ пройдёт заряд $q = -E \left(C_1 + \frac{C_2 R_1}{R_1 + R_2}\right)$.