Задача, страница 297 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА. На рисунке 5.22 показана схема цепи, собранной для зарядки аккумулятора. Источник тока имеет ЭДС $\mathcal{E}_1 = 22 \text{ В}$ и внутреннее сопротивление $r_1 = 0,2 \text{ Ом}$. ЭДС заряжаемого аккумулятора $\mathcal{E}_2 = 10 \text{ В}$ и его внутреннее сопротивление $r_2 = 0,6 \text{ Ом}$. В цепь включены переменный резистор сопротивлением $R = 10 \text{ Ом}$ и осветительная лампа сопротивлением $R_3 = 48 \text{ Ом}$. Рассчитайте силы токов на всех участках цепи.

Решение.

Направления токов в узлах и выбранные направления обхода контуров показаны на рисунке 5.22.

Из первого правила Кирхгофа в применении к узлу В следует:

$I_1 - I_2 - I_3 = 0.$ (1)

В уравнении для второго узла нет необходимости. Оно не даст ничего нового, так как в него войдут те же значения сил токов.

Второе правило Кирхгофа в применении к контурам BCDEB и ACDFA даст следующие уравнения:

$\mathcal{E}_2 = I_3R_3 - I_2(r_2 + R);$ (2)

$\mathcal{E}_1 = I_3R_3 + I_1R_1.$ (3)

Отметим, что в составлении уравнения для контура ABEFA нет необходимости, так как в него не вошли бы новые величины.

Итак, получены три уравнения, в которые входят три искомые величины. Решать их в общем виде нет смысла, поскольку они относятся к конкретной задаче. Поэтому, подставив числовые значения известных величин, получим $I_1 - I_2 - I_3 = 0,$ $48I_3 - 10,6I_2 = 10,$ $48I_3 + 0,2I_1 = 22.$

Подставив в третье уравнение $I_1 = I_2 + I_3$, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $\begin{cases} 48I_3-10,6I_2 = 10, \\ 48,2I_3 +0,2I_2 = 22. \end{cases}$

Умножив первое уравнение на 0,2, а второе — на 10,6, имеем

$9,6I_3 - 2,12I_2 = 2;$ $510,92I_3 + 2,12I_2 = 233,2.$

Сложив оба уравнения, исключим $I_2$. Следовательно, $520,52I_3 = 235,2$.

Отсюда $I_3 = 0,452 \text{ A}$.

Подставив это значение в любое из уравнений, содержащее $I_2$, получим

$9,6 \cdot 0,452 - 2,12I_2 = 2$, откуда $I_2 = 1,10 \text{ А}$. Сила тока через источник тока $I_1 = I_2 + I_3 = 1,55 \text{ A}$.

Рис. 5.22

Дано:

ЭДС источника тока $\mathscr{E}_1 = 22$ В

Внутреннее сопротивление источника тока $r_1 = 0,2$ Ом

ЭДС заряжаемого аккумулятора $\mathscr{E}_2 = 10$ В

Внутреннее сопротивление аккумулятора $r_2 = 0,6$ Ом

Сопротивление переменного резистора $R = 10$ Ом

Сопротивление осветительной лампы $R_3 = 48$ Ом

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Силы токов на всех участках цепи: $I_1, I_2, I_3$.

Решение:

Для нахождения сил токов в разветвленной цепи воспользуемся правилами Кирхгофа. Направления токов $I_1, I_2, I_3$ для каждого участка цепи указаны на схеме.

1. Первое правило Кирхгофа (правило узлов) гласит, что алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю. Для узла B:

$I_1 - I_2 - I_3 = 0$

Отсюда получаем первое уравнение системы:

$I_1 = I_2 + I_3$ (1)

2. Второе правило Кирхгофа (правило контуров) гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре. Составим уравнения для двух независимых контуров.

а) Для контура BCDEB (верхний контур). Обойдем контур по часовой стрелке, как показано на рисунке. Ток $I_3$ совпадает с направлением обхода, а ток $I_2$ - противоположен. ЭДС $\mathscr{E}_2$ в этом контуре является заряжаемой, поэтому она направлена встречно току зарядки $I_2$. Считая, что ток $I_2$ течет от B к E, то есть от "+" к "-" аккумулятора (режим зарядки), уравнение для контура будет иметь вид:

$\mathscr{E}_2 = I_3 R_3 - I_2 (R + r_2)$ (2)

(Примечание: в схеме на рисунке полярность аккумулятора $\mathscr{E}_2$ указана в режиме разряда. Решение соответствует условию задачи о зарядке, что требует обратной полярности.)

б) Для контура ABEFA (внешний контур). Обойдем контур по часовой стрелке. Токи $I_3$ и $I_1$ совпадают с направлением обхода на своих участках.

$\mathscr{E}_1 = I_3 R_3 + I_1 r_1$ (3)

Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($I_1, I_2, I_3$). Подставим в уравнения (2) и (3) числовые значения из условия:

$10 = I_3 \cdot 48 - I_2 (10 + 0,6) \implies 48 I_3 - 10,6 I_2 = 10$

$22 = I_3 \cdot 48 + I_1 \cdot 0,2 \implies 48 I_3 + 0,2 I_1 = 22$

Теперь подставим выражение для $I_1$ из уравнения (1) в последнее уравнение:

$48 I_3 + 0,2 (I_2 + I_3) = 22$

$48 I_3 + 0,2 I_2 + 0,2 I_3 = 22$

$48,2 I_3 + 0,2 I_2 = 22$

Теперь имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $I_2$ и $I_3$:

$\begin{cases} 48 I_3 - 10,6 I_2 = 10 \\ 48,2 I_3 + 0,2 I_2 = 22 \end{cases}$

Для решения этой системы умножим первое уравнение на 0,2, а второе на 10,6, чтобы исключить $I_2$:

$(48 \cdot 0,2) I_3 - (10,6 \cdot 0,2) I_2 = 10 \cdot 0,2 \implies 9,6 I_3 - 2,12 I_2 = 2$

$(48,2 \cdot 10,6) I_3 + (0,2 \cdot 10,6) I_2 = 22 \cdot 10,6 \implies 510,92 I_3 + 2,12 I_2 = 233,2$

Сложим полученные уравнения:

$(9,6 I_3 - 2,12 I_2) + (510,92 I_3 + 2,12 I_2) = 2 + 233,2$

$520,52 I_3 = 235,2$

$I_3 = \frac{235,2}{520,52} \approx 0,452$ А

Теперь найдем $I_2$, подставив значение $I_3$ в уравнение $48 I_3 - 10,6 I_2 = 10$:

$48 \cdot 0,452 - 10,6 I_2 = 10$

$21,696 - 10,6 I_2 = 10$

$10,6 I_2 = 21,696 - 10 = 11,696$

$I_2 = \frac{11,696}{10,6} \approx 1,10$ А

Наконец, найдем $I_1$ из уравнения (1):

$I_1 = I_2 + I_3 = 1,10 + 0,452 = 1,552 \approx 1,55$ А

Ответ:

Сила тока через источник $\mathscr{E}_1$ равна $I_1 \approx 1,55$ А.

Сила тока через аккумулятор $\mathscr{E}_2$ равна $I_2 \approx 1,10$ А.

Сила тока через лампу $R_3$ равна $I_3 \approx 0,45$ А (с округлением до двух значащих цифр, как в других ответах, или 0,452 А для большей точности).