Номер 57.8, страница 295 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

57.8. Суммарная мощность, выделяющаяся на резисторах, сопротивления которых $R_1 = 8 \text{ Ом}$ и $R_2 = 2 \text{ Ом}$, одинакова при их последовательном и параллельном подключении к источнику тока. Определите внутреннее сопротивление источника тока, питающего эти резисторы.

Дано:

Сопротивление первого резистора, $R_1 = 8$ Ом

Сопротивление второго резистора, $R_2 = 2$ Ом

Мощность при последовательном соединении $P_{посл}$ равна мощности при параллельном соединении $P_{пар}$.

Найти:

Внутреннее сопротивление источника тока, $\text{r}$.

Решение:

Мощность, выделяющаяся на внешней цепи, определяется по формуле $P = I^2 R_{вн}$, где $\text{I}$ - сила тока в цепи, а $R_{вн}$ - сопротивление внешней цепи. Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $I = \frac{\mathcal{E}}{R_{вн} + r}$, где $\mathcal{E}$ - ЭДС источника тока, а $\text{r}$ - его внутреннее сопротивление.

Подставив выражение для силы тока в формулу мощности, получаем:

$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_{вн} + r}\right)^2 R_{вн} = \frac{\mathcal{E}^2 R_{вн}}{(R_{вн} + r)^2}$

Рассмотрим два случая подключения резисторов.

1. Последовательное соединение.

При последовательном соединении общее сопротивление внешней цепи равно сумме сопротивлений:

$R_{посл} = R_1 + R_2 = 8 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом} = 10 \text{ Ом}$

Мощность, выделяющаяся в этом случае:

$P_{посл} = \frac{\mathcal{E}^2 R_{посл}}{(R_{посл} + r)^2}$

2. Параллельное соединение.

При параллельном соединении общее сопротивление внешней цепи находится по формуле:

$R_{пар} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{8 \text{ Ом} \cdot 2 \text{ Ом}}{8 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом}} = \frac{16}{10} \text{ Ом} = 1.6 \text{ Ом}$

Мощность, выделяющаяся в этом случае:

$P_{пар} = \frac{\mathcal{E}^2 R_{пар}}{(R_{пар} + r)^2}$

По условию задачи, мощности в обоих случаях равны, $P_{посл} = P_{пар}$:

$\frac{\mathcal{E}^2 R_{посл}}{(R_{посл} + r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 R_{пар}}{(R_{пар} + r)^2}$

Сокращаем на $\mathcal{E}^2$ (так как ЭДС источника не равна нулю):

$\frac{R_{посл}}{(R_{посл} + r)^2} = \frac{R_{пар}}{(R_{пар} + r)^2}$

Преобразуем полученное равенство:

$R_{посл}(R_{пар} + r)^2 = R_{пар}(R_{посл} + r)^2$

Можно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения (с учетом, что все величины положительны):

$\sqrt{R_{посл}}(R_{пар} + r) = \sqrt{R_{пар}}(R_{посл} + r)$

Раскроем скобки:

$\sqrt{R_{посл}}R_{пар} + r\sqrt{R_{посл}} = \sqrt{R_{пар}}R_{посл} + r\sqrt{R_{пар}}$

Сгруппируем слагаемые с $\text{r}$:

$r(\sqrt{R_{посл}} - \sqrt{R_{пар}}) = \sqrt{R_{пар}}R_{посл} - \sqrt{R_{посл}}R_{пар}$

$r(\sqrt{R_{посл}} - \sqrt{R_{пар}}) = \sqrt{R_{пар}}\sqrt{R_{посл}}(\sqrt{R_{посл}} - \sqrt{R_{пар}})$

Так как $R_{посл} \ne R_{пар}$, то $(\sqrt{R_{посл}} - \sqrt{R_{пар}}) \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на этот множитель:

$r = \sqrt{R_{посл} R_{пар}}$

Это формула для искомого внутреннего сопротивления. Подставим в нее численные значения:

$r = \sqrt{10 \text{ Ом} \cdot 1.6 \text{ Ом}} = \sqrt{16 \text{ Ом}^2} = 4 \text{ Ом}$

Ответ: внутреннее сопротивление источника тока равно 4 Ом.