Номер 70.3, страница 350 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

70.3. До какой энергии происходит ускорение протонов в циклотроне, радиус дуантов которого равен 0,75 м? Индукция магнитного поля равна 1,4 Тл.

Дано:

Радиус дуантов циклотрона, $R = 0,75 \text{ м}$

Индукция магнитного поля, $B = 1,4 \text{ Тл}$

Ускоряемая частица — протон. Используем справочные данные для протона:

Заряд протона (равен элементарному заряду), $q = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Масса протона, $m_p = 1,672 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Максимальную кинетическую энергию протона $E_{k,max}$.

Решение:

В циклотроне на протон, движущийся в однородном магнитном поле, действует сила Лоренца. Эта сила перпендикулярна скорости частицы, поэтому она не совершает работы, но изменяет направление движения, заставляя протон двигаться по круговой траектории. Сила Лоренца в данном случае выступает в роли центростремительной силы.

Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу Лоренца $F_Л$ и центростремительную силу $F_{цс}$:

$F_Л = F_{цс}$

Сила Лоренца для заряда, движущегося перпендикулярно магнитному полю, равна $F_Л = qvB$. Центростремительная сила равна $F_{цс} = \frac{mv^2}{r}$.

Приравнивая выражения, получаем:

$qvB = \frac{mv^2}{r}$

где $\text{q}$ — заряд протона, $\text{v}$ — его скорость, $\text{B}$ — индукция магнитного поля, $\text{m}$ — масса протона, а $\text{r}$ — радиус траектории.

Из этого уравнения можно выразить скорость протона:

$v = \frac{qBr}{m}$

Максимальная энергия достигается, когда протон движется по траектории с максимально возможным радиусом, который равен радиусу дуантов $\text{R}$. Таким образом, максимальная скорость протона $v_{max}$ равна:

$v_{max} = \frac{qBR}{m}$

Кинетическая энергия частицы определяется формулой:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Для нахождения максимальной кинетической энергии подставим в эту формулу выражение для максимальной скорости:

$E_{k,max} = \frac{m v_{max}^2}{2} = \frac{m}{2} \left(\frac{qBR}{m}\right)^2 = \frac{m q^2 B^2 R^2}{2m^2} = \frac{(qBR)^2}{2m}$

Подставим числовые значения из условия и справочные данные:

$E_{k,max} = \frac{((1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (1,4 \text{ Тл}) \cdot (0,75 \text{ м}))^2}{2 \cdot (1,672 \cdot 10^{-27} \text{ кг})}$

Вычислим значение в числителе:

$qBR = 1,6 \cdot 1,4 \cdot 0,75 \cdot 10^{-19} = 1,68 \cdot 10^{-19} \text{ (кг}\cdot\text{м/с)}$

Тогда:

$E_{k,max} = \frac{(1,68 \cdot 10^{-19})^2}{2 \cdot 1,672 \cdot 10^{-27}} = \frac{2,8224 \cdot 10^{-38}}{3,344 \cdot 10^{-27}} \text{ Дж}$

$E_{k,max} \approx 0,844 \cdot 10^{-11} \text{ Дж} = 8,44 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$

Энергию элементарных частиц часто выражают в электрон-вольтах (эВ) или мегаэлектрон-вольтах (МэВ). Переведем полученное значение в МэВ, зная, что $1 \text{ эВ} \approx 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$.

$E_{k,max} = \frac{8,44 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 5,275 \cdot 10^7 \text{ эВ} = 52,75 \text{ МэВ}$

Ответ: до энергии приблизительно $8,44 \cdot 10^{-12}$ Дж, что составляет около $52,75$ МэВ.