Номер 3, страница 371 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

76.3. Вычислите индуктивность цилиндрической катушки, имеющей 1000 витков, длину 50 см и диаметр витка 10 см.

Дано:

Число витков, $N = 1000$

Длина катушки, $l = 50$ см

Диаметр витка, $d = 10$ см

Магнитная постоянная, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ Гн/м

$l = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$
$d = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Индуктивность катушки, $\text{L}$

Решение:

Индуктивность длинного соленоида (цилиндрической катушки, у которой длина значительно больше диаметра) можно вычислить по формуле:

$L = \frac{\mu_0 N^2 S}{l}$

где $\mu_0$ — магнитная постоянная, $\text{N}$ — число витков, $\text{S}$ — площадь поперечного сечения катушки, $\text{l}$ — длина катушки. Предполагается, что внутри катушки находится воздух, поэтому относительная магнитная проницаемость $\mu_r \approx 1$.

Поскольку катушка цилиндрическая, её поперечное сечение — это круг. Площадь круга $\text{S}$ вычисляется по формуле:

$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Сначала найдём радиус витка:

$r = \frac{d}{2} = \frac{0.1 \text{ м}}{2} = 0.05 \text{ м}$

Теперь вычислим площадь поперечного сечения катушки:

$S = \pi \times (0.05 \text{ м})^2 = \pi \times 0.0025 \text{ м}^2 = 0.0025\pi \text{ м}^2$

Подставим все известные значения в формулу для индуктивности:

$L = \frac{(4\pi \times 10^{-7} \text{ Гн/м}) \times (1000)^2 \times (0.0025\pi \text{ м}^2)}{0.5 \text{ м}}$

Проведем вычисления:

$L = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10^6 \times 0.0025\pi}{0.5} \text{ Гн} = \frac{4\pi^2 \times 10^{-1} \times 0.0025}{0.5} \text{ Гн}$

$L = \frac{0.4\pi^2 \times 0.0025}{0.5} \text{ Гн} = 0.8 \times \pi^2 \times 0.0025 \text{ Гн}$

$L = 0.002\pi^2 \text{ Гн}$

Используя приближённое значение $\pi^2 \approx 9.87$, получим:

$L \approx 0.002 \times 9.87 \text{ Гн} \approx 0.01974 \text{ Гн}$

Результат удобно выразить в миллигенри (мГн):

$L \approx 0.01974 \text{ Гн} = 19.74 \text{ мГн}$

Округлим результат до трёх значащих цифр.

Ответ: $L \approx 19.7 \text{ мГн}$.