Номер 1, страница 373 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА. Два одинаковых конденсатора, электроёмкость каждого из которых равна C, и катушка индуктивностью L соединены так, как показано на рисунке 8.9. В начальный момент времени ключи разомкнуты, конденсатор C1 заряжен до напряжения U, а конденсатор C2 не заряжен. Чему равна максимальная сила тока в катушке после замыкания ключей?

Рис. 8.9

Решение. После замыкания ключа K1 заряд конденсатора C1 перераспределяется между конденсаторами C1 и C2 до равенства их напряжений:

$\begin{cases} q = q_1 + q_2, \\ U_1 = U_2, \end{cases}$ или $\begin{cases} q = q_1 + q_2, \\ \frac{q_1}{C} = \frac{q_2}{C}. \end{cases}$

Отсюда

$q_1 = q_2 = \frac{q}{2}$, $U_1 = U_2 = \frac{U}{2}$.

Следовательно, энергия обоих конденсаторов после замыкания ключа равна:

$W_2 = \frac{CU_1^2}{2} + \frac{CU_2^2}{2}=$

$= \frac{C}{2} \left(\frac{U^2}{4} + \frac{U^2}{4}\right) = \frac{CU^2}{4}$.

Сравнивая эту энергию с энергией одного конденсатора до замыкания ключа

$W_1 = \frac{CU^2}{2}$,

мы видим, что половина энергии конденсатора как бы исчезла, но это противоречит закону сохранения энергии. На самом деле энергия не исчезла — она израсходовалась на образование искры в момент контакта электродов ключа и на нагрев соединительных проводов, т. е. превратилась в конечном счёте во внутреннюю энергию окружающей среды. Замкнём ключ K2.

В тот момент, когда вся энергия электрического поля конденсаторов превращается в энергию магнитного поля катушки, на основании закона сохранения энергии выполняется равенство

$\frac{CU^2}{4} = \frac{LI_{max}^2}{2}$,

откуда

$I = U \sqrt{\frac{C}{2L}}$

Дано

Электроёмкость первого конденсатора: $C_1 = C$

Электроёмкость второго конденсатора: $C_2 = C$

Индуктивность катушки: $\text{L}$

Начальное напряжение на первом конденсаторе: $\text{U}$

Начальный заряд на первом конденсаторе: $q = CU$

Начальное напряжение и заряд на втором конденсаторе: $U_2 = 0, q_2 = 0$

Найти:

Максимальная сила тока в катушке: $I_{max}$

Решение

Задача решается в два этапа. Сначала замыкается ключ K1, а затем, после установления равновесия, ключ K2.

Этап 1: Замыкание ключа K1.

После замыкания ключа K1 два конденсатора оказываются соединены параллельно. Заряд $\text{q}$ с первого конденсатора перераспределяется между обоими конденсаторами до тех пор, пока напряжение на них не станет одинаковым. Система является замкнутой, поэтому выполняется закон сохранения заряда:

$q = q_1' + q_2'$

где $q=CU$ — начальный заряд первого конденсатора, а $q_1'$ и $q_2'$ — заряды на конденсаторах после перераспределения.

Так как конденсаторы соединены параллельно, напряжения на них равны:

$U_1' = U_2'$

Используя формулу $q=CU$, перепишем равенство напряжений через заряды:

$\frac{q_1'}{C} = \frac{q_2'}{C}$, откуда следует $q_1' = q_2'$.

Подставим это в закон сохранения заряда:

$CU = q_1' + q_1' = 2q_1'$

Таким образом, заряды на конденсаторах после установления равновесия равны:

$q_1' = q_2' = \frac{CU}{2}$

Новое напряжение на каждом из конденсаторов будет:

$U' = U_1' = U_2' = \frac{q_1'}{C} = \frac{CU/2}{C} = \frac{U}{2}$

Суммарная энергия, запасенная в двух конденсаторах перед замыканием ключа K2, равна:

$W_E = \frac{C(U')^2}{2} + \frac{C(U')^2}{2} = C(U')^2 = C \left(\frac{U}{2}\right)^2 = \frac{CU^2}{4}$

Этап 2: Замыкание ключа K2.

После замыкания ключа K2 образуется колебательный контур, состоящий из двух параллельно соединенных конденсаторов и катушки индуктивности. В этом контуре происходят электромагнитные колебания, в ходе которых энергия электрического поля конденсаторов переходит в энергию магнитного поля катушки и обратно.

Согласно закону сохранения энергии для колебательного контура, полная энергия системы остается постоянной. Максимальная сила тока $I_{max}$ в катушке будет в тот момент, когда вся энергия электрического поля конденсаторов ($W_E$) полностью перейдет в энергию магнитного поля катушки ($W_{L, max}$).

$W_E = W_{L, max}$

Энергия магнитного поля катушки при максимальном токе определяется формулой:

$W_{L, max} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Приравниваем энергии:

$\frac{CU^2}{4} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Выразим из этого равенства $I_{max}$:

$L I_{max}^2 = \frac{2 \cdot CU^2}{4} = \frac{CU^2}{2}$

$I_{max}^2 = \frac{CU^2}{2L}$

$I_{max} = \sqrt{\frac{CU^2}{2L}} = U\sqrt{\frac{C}{2L}}$

Ответ: Максимальная сила тока в катушке равна $I_{max} = U\sqrt{\frac{C}{2L}}$.