Номер 2, страница 183 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 39. Условие равновесия для поступательного движения. 6. Статика. Механика - номер 2, страница 183.

Условие.

2. Цепи, которыми крепится к потолку и стене люстра (рис. 147), выдерживают силу натяжения 1200 Н. Люстра какой предельной массы может быть на них подвешена?

Решение.

Дано:

Предельная сила натяжения цепей, $T_{max} = 1200$ Н

Угол, который образует цепь $T_1$ с горизонталью, $\alpha = 60^\circ$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

$m_{max}$ — предельную массу люстры.

Решение:

Люстра находится в состоянии равновесия, поэтому согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на точку крепления цепей, равна нулю. На эту точку действуют три силы: сила натяжения первой цепи $\vec{T_1}$, сила натяжения второй цепи $\vec{T_2}$ и сила тяжести люстры $\vec{F_g}$.

Запишем условие равновесия в векторной форме:

$\vec{T_1} + \vec{T_2} + \vec{F_g} = 0$

Для решения задачи введем систему координат, как показано на рисунке: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX — горизонтально вправо. Спроецируем векторное уравнение на эти оси.

Проекция на ось OX:

$T_{2x} + T_{1x} + F_{gx} = 0$

$T_2 - T_1 \cos(\alpha) + 0 = 0$

Из этого уравнения находим соотношение между силами натяжения:

$T_2 = T_1 \cos(60^\circ) = T_1 \cdot 0.5$

Проекция на ось OY:

$T_{2y} + T_{1y} + F_{gy} = 0$

$0 + T_1 \sin(\alpha) - F_g = 0$

Отсюда выразим силу тяжести, действующую на люстру:

$F_g = T_1 \sin(60^\circ)$

Из соотношения $T_2 = 0.5 T_1$ следует, что сила натяжения в наклонной цепи ($T_1$) всегда в два раза больше, чем в горизонтальной ($T_2$). Это означает, что при увеличении массы люстры (и, соответственно, сил натяжения) первой достигнет своего предельного значения $T_{max}$ именно наклонная цепь. Таким образом, предельная масса люстры определяется условием $T_1 = T_{max} = 1200$ Н.

Подставим это значение в уравнение для силы тяжести, чтобы найти ее максимальное значение $F_{g, max}$:

$F_{g, max} = T_{max} \sin(60^\circ) = 1200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 600\sqrt{3}$ Н.

Вычислим приближенное значение этой силы:

$F_{g, max} \approx 600 \cdot 1.732 \approx 1039.2$ Н.

Предельная масса люстры $m_{max}$ связана с предельной силой тяжести формулой $F_{g, max} = m_{max}g$. Выразим массу:

$m_{max} = \frac{F_{g, max}}{g} = \frac{600\sqrt{3}}{9.8} \approx \frac{1039.2}{9.8} \approx 106.04$ кг.

Округлим результат до целого числа.

Ответ: предельная масса люстры, которая может быть подвешена на этих цепях, составляет приблизительно 106 кг.