Номер 3, страница 183 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 6. Статика. Параграф 39. Условие равновесия для поступательного движения. Задачи - номер 3, страница 183.

Условие.

3. К неподвижному вертикальному кольцу радиально прикреплены четыре каната: под углом 30, 90 и $210^\circ$ к горизонтали. Силы натяжения в канатах равны соответственно 200, 500 и 300 Н. Найдите силу натяжения четвёртого каната. Какой угол с горизонталью он составляет?

Решение.

Дано:

Сила натяжения первого каната, $T_1 = 200 \text{ Н}$
Угол первого каната, $\alpha_1 = 30^\circ$
Сила натяжения второго каната, $T_2 = 500 \text{ Н}$
Угол второго каната, $\alpha_2 = 90^\circ$
Сила натяжения третьего каната, $T_3 = 300 \text{ Н}$
Угол третьего каната, $\alpha_3 = 210^\circ$
Кольцо находится в равновесии.

Найти:

Силу натяжения четвёртого каната $T_4$ и угол $\alpha_4$, который он составляет с горизонталью.

Решение:

Так как кольцо неподвижно, оно находится в состоянии равновесия. Согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на кольцо, равна нулю. Введём систему координат: ось $Ox$ направим горизонтально вправо, а ось $Oy$ — вертикально вверх. Центр кольца поместим в начало координат.

Условие равновесия в векторном виде:

$\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3 + \vec{T}_4 = 0$

Запишем это условие в проекциях на оси координат $Ox$ и $Oy$:

$\sum F_x = T_{1x} + T_{2x} + T_{3x} + T_{4x} = 0$

$\sum F_y = T_{1y} + T_{2y} + T_{3y} + T_{4y} = 0$

Найдём проекции известных сил на оси:

$T_{1x} = T_1 \cos(\alpha_1) = 200 \cdot \cos(30^\circ) = 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 100\sqrt{3} \text{ Н}$

$T_{1y} = T_1 \sin(\alpha_1) = 200 \cdot \sin(30^\circ) = 200 \cdot \frac{1}{2} = 100 \text{ Н}$

$T_{2x} = T_2 \cos(\alpha_2) = 500 \cdot \cos(90^\circ) = 500 \cdot 0 = 0 \text{ Н}$

$T_{2y} = T_2 \sin(\alpha_2) = 500 \cdot \sin(90^\circ) = 500 \cdot 1 = 500 \text{ Н}$

$T_{3x} = T_3 \cos(\alpha_3) = 300 \cdot \cos(210^\circ) = 300 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -150\sqrt{3} \text{ Н}$

$T_{3y} = T_3 \sin(\alpha_3) = 300 \cdot \sin(210^\circ) = 300 \cdot (-\frac{1}{2}) = -150 \text{ Н}$

Теперь из уравнений равновесия найдём проекции силы натяжения четвёртого каната $T_4$.

Для оси $Ox$:

$100\sqrt{3} + 0 - 150\sqrt{3} + T_{4x} = 0$

$-50\sqrt{3} + T_{4x} = 0$

$T_{4x} = 50\sqrt{3} \text{ Н} \approx 86,6 \text{ Н}$

Для оси $Oy$:

$100 + 500 - 150 + T_{4y} = 0$

$450 + T_{4y} = 0$

$T_{4y} = -450 \text{ Н}$

Зная проекции силы $T_4$, найдём её модуль (величину силы натяжения) и угол $\alpha_4$.

Модуль силы $T_4$ найдём по теореме Пифагора:

$T_4 = \sqrt{T_{4x}^2 + T_{4y}^2} = \sqrt{(50\sqrt{3})^2 + (-450)^2} = \sqrt{2500 \cdot 3 + 202500} = \sqrt{7500 + 202500} = \sqrt{210000} = 100\sqrt{21} \text{ Н}$

Вычислим приближенное значение: $T_4 \approx 100 \cdot 4,583 \approx 458,3 \text{ Н}$.

Угол $\alpha_4$ с горизонталью найдём через тангенс:

$\tan(\alpha_4) = \frac{T_{4y}}{T_{4x}} = \frac{-450}{50\sqrt{3}} = \frac{-9}{\sqrt{3}} = -3\sqrt{3} \approx -5,196$

Поскольку проекция $T_{4x}$ положительна, а $T_{4y}$ отрицательна, вектор силы $\vec{T}_4$ направлен в IV координатную четверть.

$\alpha_4 = \arctan(-3\sqrt{3}) \approx -79,1^\circ$

В качестве ответа можно также указать положительный угол, отсчитываемый от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки: $\alpha_4 = 360^\circ - 79,1^\circ = 280,9^\circ$.

Ответ: Сила натяжения четвёртого каната $T_4 = 100\sqrt{21} \text{ Н} \approx 458 \text{ Н}$, угол с горизонталью составляет $\alpha_4 \approx 281^\circ$ (или $\approx -79^\circ$).