Номер 5, страница 184 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 6. Статика. Параграф 39. Условие равновесия для поступательного движения. Задачи - номер 5, страница 184.

Условие.

5. Система грузов и невесомых блоков, приведённая на рисунке 148, находится в равновесии. Найдите массу второго груза и силы натяжения нитей.

Решение.

Дано:

$m_1 = 2$ кг
$\alpha = 40^\circ$
$g \approx 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$

Найти:

$m_2 - ?$
$T_1 - ?$
$T_2 - ?$
$T_3 - ?$
$T_4 - ?$

Решение:

Система находится в равновесии, это означает, что векторная сумма всех сил, действующих на каждый элемент системы, равна нулю (первый закон Ньютона). Блоки и нити считаем невесомыми и трение отсутствующим.

1. Найдём силу натяжения нити $T_1$

Рассмотрим груз массой $m_1$. На него действуют две силы: сила тяжести $m_1 g$, направленная вниз, и сила натяжения нити $T_1$, направленная вверх. Так как груз находится в равновесии, эти силы уравновешивают друг друга:

$T_1 = m_1 g$

$T_1 = 2 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 20 \text{ Н}$

Ответ: Сила натяжения нити $T_1$ равна $20 \text{ Н}$.

2. Рассмотрим равновесие подвижного блока

На узел, к которому прикреплён подвижный блок, действуют четыре силы натяжения: $\vec{T_1}$ (вниз), $\vec{T_3}$ (влево), $\vec{T_2}$ (вверх и вправо под углом $\alpha = 40^\circ$ к горизонту) и $\vec{T_4}$ (вверх).

Из рисунка видно, что нить, натяжение которой обозначено как $T_2$ и $T_4$, является единой и перекинута через подвижный блок. В случае невесомой нити и отсутствия трения сила натяжения по всей её длине одинакова. Следовательно, по модулю:

$T_2 = T_4$

Запишем условие равновесия для узла в проекциях на оси координат. Ось OX направим горизонтально вправо, ось OY — вертикально вверх.

Сумма проекций сил на ось OX:

$\sum F_x = T_2 \cos(\alpha) - T_3 = 0$

Сумма проекций сил на ось OY:

$\sum F_y = T_2 \sin(\alpha) + T_4 - T_1 = 0$

3. Найдём силы натяжения $T_2$, $T_4$ и $T_3$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($T_2$ и $T_3$), так как $T_4 = T_2$. Подставим $T_4 = T_2$ во второе уравнение:

$T_2 \sin(\alpha) + T_2 - T_1 = 0$

$T_2 (1 + \sin(\alpha)) = T_1$

Отсюда выразим $T_2$:

$T_2 = \frac{T_1}{1 + \sin(\alpha)}$

Подставим числовые значения ($\sin(40^\circ) \approx 0.643$):

$T_2 = \frac{20 \text{ Н}}{1 + 0.643} = \frac{20 \text{ Н}}{1.643} \approx 12.17 \text{ Н}$

Поскольку $T_4 = T_2$, то $T_4 \approx 12.17 \text{ Н}$.

Теперь из уравнения для оси OX найдём $T_3$:

$T_3 = T_2 \cos(\alpha)$

Подставим числовые значения ($\cos(40^\circ) \approx 0.766$):

$T_3 \approx 12.17 \text{ Н} \cdot 0.766 \approx 9.32 \text{ Н}$

Ответ: Силы натяжения нитей равны $T_2 \approx 12.2 \text{ Н}$, $T_4 \approx 12.2 \text{ Н}$, $T_3 \approx 9.3 \text{ Н}$.

4. Найдём массу второго груза $m_2$

Рассмотрим груз массой $m_2$. Он находится в равновесии под действием силы тяжести $m_2 g$ (вниз) и силы натяжения нити $T_2$ (вверх). Следовательно:

$T_2 = m_2 g$

Выразим массу $m_2$:

$m_2 = \frac{T_2}{g}$

$m_2 \approx \frac{12.17 \text{ Н}}{10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}} \approx 1.217 \text{ кг}$

Ответ: Масса второго груза $m_2 \approx 1.22 \text{ кг}$.