Номер 4, страница 184 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 39. Условие равновесия для поступательного движения. 6. Статика. Механика - номер 4, страница 184.

Условие.

4. Чемодан массой 30 кг скатывается с наклонной плоскости, составляющей угол $30^\circ$ с горизонтом. Коэффициент трения между поверхностью чемодана и плоскостью равен 0,3. С какой минимальной силой следует прижимать чемодан к плоскости, чтобы он скатывался с постоянной скоростью?

Решение.

Дано:

$m = 30$ кг

$\alpha = 30°$

$\mu = 0.3$

$v = \text{const}$ (скорость постоянна, следовательно ускорение $a=0$)

$g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$F$ - ?

Решение:

Поскольку чемодан скатывается с постоянной скоростью, его ускорение равно нулю. Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на чемодан, равна нулю: $\sum \vec{F} = 0$.

Выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ – перпендикулярно плоскости вверх. На чемодан действуют: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$ и минимальная прижимающая сила $\vec{F}$, которая по условию должна быть приложена к плоскости. Для того чтобы сила была минимальной, она должна быть направлена перпендикулярно плоскости, так как в этом случае она наиболее эффективно увеличивает силу нормальной реакции и, следовательно, силу трения.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на выбранные оси координат:

Проекция на ось $Oy$:

$N - mg \cos(\alpha) - F = 0$

Отсюда выразим силу нормальной реакции опоры $N$:

$N = mg \cos(\alpha) + F$

Проекция на ось $Ox$:

$mg \sin(\alpha) - F_{тр} = 0$

Из этого уравнения следует, что для равномерного движения сила трения должна уравновешивать скатывающую силу:

$F_{тр} = mg \sin(\alpha)$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции через коэффициент трения $\mu$:

$F_{тр} = \mu N$

Подставим в это уравнение выражение для $N$ из проекции на ось $Oy$:

$F_{тр} = \mu (mg \cos(\alpha) + F)$

Теперь приравняем два полученных выражения для силы трения:

$mg \sin(\alpha) = \mu (mg \cos(\alpha) + F)$

Из этого уравнения выразим искомую силу $F$:

$mg \sin(\alpha) = \mu mg \cos(\alpha) + \mu F$

$\mu F = mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha)$

$F = \frac{mg (\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))}{\mu} = mg \left( \frac{\sin(\alpha)}{\mu} - \cos(\alpha) \right)$

Подставим числовые значения:

$F = 30 \cdot 10 \left( \frac{\sin(30°)}{0.3} - \cos(30°) \right) = 300 \left( \frac{0.5}{0.3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

$F \approx 300 \left( 1.667 - 0.866 \right) = 300 \cdot 0.801 \approx 240.3$ Н.

Ответ: $240.3$ Н.